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量子力学小体会---投硬币问题的量子化

已有 4302 次阅读 2013-12-30 09:54 |个人分类:数学物理|系统分类:科研笔记|关键词:学者

假设硬币质地均匀,则投一次硬币出现正面和反面的概率是一样的(均为$1/2$),我们规定硬币出现正面为$1$,出现反面为$0$。由公理一,波函数一定在某个Hilbert空间中,又由于投硬币只会出现这两种可能,因此其波函数所在的Hilbert空间$mathbf{H}$取为$mathbb{C}^2$,其上的内积为标准内积。由于投硬币事件为等可能事件,其波函数为

[psi=cleft(begin{array}{c}frac{sqrt{2}}{2}\frac{sqrt{2}}{2}end{array}right)inmathbb{C}^2]

这里$c$为任意模长为$1$的复数。明显地,$psi$为Hilbert空间$mathbb{C}^2$中的单位向量。

由于投硬币事件的观测值为$0$和$1$,按照公理二,该事件会对应一个Hilbert空间$mathbf{H}$上的自伴算子$A$。而对事件的观测值即为自伴算子$A$的特征值,由此知$A$为特征值为$0$和$1$的二阶Hermite矩阵,在自然基底下取为

[A=left(begin{array}{cc}0&0\0&1end{array}right)]

其对应的特征向量分别为$xi_1=left(begin{array}{c}1\0end{array}right)$和$xi_2=left(begin{array}{c}0\1end{array}right)$,此时

[psi=frac{sqrt{2}}{2}cxi_1+frac{sqrt{2}}{2}cxi_2]

利用公理三的一个结论,我们可以得到观测到$0$的概率为波函数在基底$xi_1,xi_2$下展开式中$xi_1$的系数的模长的平方,即为$left|frac{sqrt{2}}{2}cright|^2=frac{1}{2}$,同理观测到$1$的概率也为$left|frac{sqrt{2}}{2}cright|^2=frac{1}{2}$。这与我们的假定一致。另外该事件观测值的期望为

[langle Arangle_psi=langlepsi,Apsirangle=frac{1}{2}]

这也与我们的假定一致。这样,我们便对投硬币事件进行了量子化。

 

另外,在投硬币之前,我们并不知道出现何值。但投硬币后(相当于进行了一次测量),此时波函数塌缩为特征向量,所以在接下来进行的立即观测,波函数仍将为该特征向量,这便解释了公理四。

 



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1 强涛

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