对随机现象的数学解析

葛维亚

       随机现象是原因中至少有一个预知，而又无法搞清全部原因的事前不可预言现象，它的结果总是未知的。即在相同条件下重复进行试验，每次结果未必相同，或知道事物过去的状况，但未来的发展却不能完全肯定，也就是随机现象中是指事件的结果不确定。例如：以同样的方式投掷骰子时，出现1-6点的哪一点，事先并不知道；一个流域未来每年降水量上是多少不知道 ；一场降雨在流域上产生的径流也不知道。随机现象与确定性现象的共同特点是事物本身的含义确定，区别在于确定性现象的结果具有唯一性，而随机现象当结果具有不确定性。

       对于随机现象而言,  (1)式中， PXi=1-i=1 ， μ_A(x)=0，Xi=1-i ，_因此它们之间关系的表达式为：

                         Z=Z (X)             ₍₁₎  

      这种两变量的关系为相关关系，X与z的相关系数  0≤ Φ＜ 1。很明显，随机现象为确定现象的特例。（1）式满足了随机现象数学表达的必要而充分条件。

       在z的不确定性情况下，我们常常以它的数学期望值（数学平均值）  作为不偏估值在实际应用中使用。在概率分布函数相同时，Z 的条件概率P(z/x) i=1-i 为定值，而对于正态分布则P（Z/X） i=1-i=0.5。

       实际上此处的（1）式表达的是相关关系，而非函数关系。它与函数关系的相同点是自变量是确定的，不同点是得到的依变量是不确定的。如果以数学平均值 作为标准，其误差在±σ（σ为标准差）区间的概率为68.3％；落入±2σ和±3σ区间的概率分别为95.4％和99.7％。许多行业把｜3σ｜看作最大误差，在考虑实际情况和不同技术领域要求，以此作为参考，确定规范中的允许误差。                                            

        _{鉴于随机现象是由世界中无限多的影响因素造成的，它的本质是世界的无限性。由于任何实数都可以无穷多分解，成为无穷多个无限小份用数学式表示为：}

   _{任何实数=无穷大×无穷小，即}      

                   _{a= ? ×  δ                      （2）}                     

_{如果将a限定为事件的概率P，即}

        P= ?  ×   δ                        （3）

_{也就是说P的取值在无穷因素的作用下，任意获得，只是取得机会并不完全一样。这说明无限性，产生随机性。理解该结论时，可以把无穷大看做外部因素，无穷小看做内部因素。因为世界无穷大，所以任何一个存在都受到无穷可能的外因。而任何一存在可以无穷分解，所以也有无穷内因。}

        _{如果把概率P定义为P=P}（x≥xp ）_{，这就是水文水资源分析计算中经常使用的概率，水文界称为频率。则设计频率Pp= P}（x≥xp）_，此处xp为设计值，_Pp为设计频率，1/ _{Pp为重现期。}水文水利规划设计的一项重要使命，就是根据有关规范确定的水利工程设计标准_Pp或校核标准_{Pc，推求有关的设计值}xp_和校核值xc  _{，以此作为根据，对水利工程进行规划和设计。}

       描述与表达随机现象的数学工具，我们一般比较陌生，主要数学工具为概率论、数理统计、条件分布、随机过程、随机运筹学、随机微分方程、蒙特卡罗模拟等。概率论与统计学将数学的应用从必然现象扩展到随机现象。水文水资源业界属于概率论、数理统计使用较多的部门，对它们也比较熟悉。例如在水利水电防洪、发电、除涝、灌溉、航运，城市排水、水质评价和水资源评价中，设计标准的确定和设计值计算推求，均与概率论、数理统计有关。这种利用实验或实测获取的一组数据，例如同一河流断面每年的一次最大年降水量，或每年洪峰流量，被看作是总体序列中被随机抽取的一个容量为n的样本。

        _{水文水资源频率计算中，P与线型及其相应的统计参数有关。在线型已经确定情况下，表达为P= f(}γ1，γ2，γ3，………,γi_{) ，i=1-n，}

γi为i阶矩。水文现象为随机现象，其随机变量分布曲线的线型也是未知的。凭借实测资料（即样本资料）得知，水文要素的频率分布不是高斯正态分布（或物理上的白噪音分布），而是偏态分布。长期以来凭借职场专业人员的经验、通过试验模拟、统计检验等论证，主流线型接近不完全Γ分布（这是一组曲线族），p-Ⅲ型就是这个大家庭的一员。确定这一曲线的的统计参数取为三个，即一阶矩数学期望值（平均值）x̄，二阶矩变差系数cv 与三阶矩偏态系数  cs 。

        根据大数定律，样本容量n越大，即用于计算的资料年限越长或次数越多，随机误差越小，计算得出的不偏估值越接近总体真值。从矩法解析中得知，矩的阶数越高，随机误差越大。归纳起来水文统计中参数的随机误差与样本容量、矩阶数、代表概率分布曲线估值的频率曲线线性型等三个因素有关。目前许多教科书和文章里，把Γ分布和皮尔逊Ⅲ型分布曲线，作为两种独立的线型加以介绍，这是一种误解。因为皮尔逊Ⅲ型分布曲线就是不完全Γ函数的一个特例而已，它是Γ分布曲线族当中的一个。此外，在水文资料短缺的流域，也经常通过相关分析与计算，建立各种水文要素之间的经验公式、等值线图、综合单位线以及水文单值化处理计算中落差系数和指数的推求等方法，也会经常使用渐消记忆的最小二乘法、线性逐步回归、最优化方法（确定合理的目标函数、优选范围和精度要求是关键）等数学工具。这一切都要求数学和人的经验相互配合。