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矩阵相乘不要理解为矩阵相乘

已有 668 次阅读 2024-2-16 12:43 |个人分类:科学人文|系统分类:人文社科

矩阵相乘不满足交换律,总是让人难以接受。后来想到了另一个办法,把“矩阵相乘”换一种理解方式。把“相乘”的“相”字去掉。“相”字很容易误导为“相互”,自然认为可以调换位置。假如把“乘法”理解为“算子”,公式AXB 代表着 A 作用在 B上,就不会产生交换想法。我们完全可认为A是一个函数,可以写为A(B)。在实数域,A作用在 B上满足交换律。当在其他领域时,就不一定满足交换律。由于 A和B在同一个领域中,写为AXB更为方便,当然也带来了混乱。

到这里,我们会注意到“函数”和“自变量”都是变量,变成了研究分析的对象。在平时的学习中,我们往往会假定函数是确定的,“自变量”是变化的。在矩阵计算中,函数也是“变化的”,“函数”和“自变量”都是可变的。

就算到了大学,也很少有学生会专门学习函数本身特性。数学分析引入了函数本身的特性。就是根据函数表达式可以求出微分和积分。由于函数表达式之间存在关系,即可通过微分方程,获得具体函数表达式。

泛函分析课程专门分析函数本身。在泛函分析课程中,常常会使用矩阵作为例子。为什么用矩阵作为例子?因为矩阵乘法本身就不是单纯的乘法,而是某类函数空间。在学习线性代数时,学生不会学习泛函分析,就只能死记硬背,让人感觉不爽快。

在学习过程中,教师与学生总存在信息传递错误,加上自然语言总存在着歧义,很容易存在误解。如同生活中,人们总是存在着各种误解,包括人与人之间的误解,人们对文字的误解,甚至会出现信息缺失。误解就要产生矛盾,矛盾会产生无法说服自己的逻辑冲突。而逻辑冲突会让人疯掉的。

在实数域中,乘法一直满足交换律,为什么到矩阵就不满足交换律了?如鲠在喉。对某些人来说,可能无所谓。对于某些人来说,感觉还是有一点麻烦。题目是可以做的,但总觉得别扭,自然会影响到深入学习,深入理解。

现在通过进一步分析乘法。重新明确了乘法含义,让人更容易理解矩阵乘法。很多人讲述线性代数,利用空间向量进行解释。至少我感觉还是麻烦,不顺畅。

马斯克提到第一性原理,以上就是利用第一性原理进行的分析。简单说来,学习困难,大多数时候是因为概念理解得不深入、不充分。



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