动平衡时的均匀分布要求的转移矩阵--《气象随机场-23》

张学文，2014/9/5-8

我们针对气象场中气象变量的不同取值在气象场中占有的权重提出分布函数概念,而这种分布函数有很多理由是具有时间不变性的。可气象情况的随时的变化也提示分布函数的不变化是一种动态平衡下的不变化。这使我们进而关注各种气象变量在气象场中的分布函数的动态平衡所对应的转移矩阵是什么。

在上一讲具体看到在分布函数离散化的情况下依靠已知的分布函数反求转移矩阵的每个元素依然是依据不足的：方程式的数量多于未知数数量。

在这种背景下，具体分析某些特殊的分布函数，这显然是有启发意义的。现在分析概率论中称为均匀分布的所对应的转移矩阵（中的诸元素）可能是什么。而均匀分布可能是概率论中最简单的分布。

均匀分布的特点是在给定的有限区间内各个状态的出现概率都相等。这种高度的对称性使得其转移矩阵也必然很多对称性。这意味着转移矩阵中向前向后相格（状态）的转移率是相等。

在我们规定的一个时间步长仅可以向前后转移一个相格以及转移矩阵的a_2,2元素的转移速度（是维持原状的概率）是0.98的规定下。我们不难根据前面的讨论直接获得下面的转移矩阵。

本表把分布函数值划分为10个离散状态（划分为更多或者更少的离散状态时，完全可以从这个实例中外延出来，所以我们没有另外给出通式）。表的矩阵元素值中，即体现了状态间隔两个相格（或者2以上）的转移系数都是0，也体现了任何的一步转移速度都是0.01.我们自然认同这种相同的转移速度会形成均匀的极限分布函数。

大家不妨自己去做这个数值实验，以任何的初始状态值（任意的初始分布函数）用它与本矩阵相乘，并且把以上计算进行多次循环，则最后获得的分布函数都是一个均匀分布函数。换句话说。这个转移矩阵所对应的极限分布函数就是均匀分布函数。

下面的表是我们从一个近乎荒唐的初始分布开始进行n次（n=1,2，…,4000）的矩阵乘法从而获得n步转移以后的分布函数。我们看到该函数逐步走向均匀分布。但是速度很慢。当转移4000步以后才接近极限的均匀分布。

在熵气象学的研究中已经从大气压力的准静力学平衡的要求下按照力学原理获得了大气压力应当服从均匀分布。换句话说，你从大气中（无论那个高度，那个经纬度）任取单位质量的空气，其空气的压力（在0-1050百帕以内）为不同取值的概率是相同的。

从最大熵原理也可以证明大气压力基本服从均匀分布。而现在我们进一步认识到大气压力的动态平衡要求各个压力下的空气转移到气体压力的比率总体上是等速度的。这对应认识大气统计特性与动态变化显然具有基础知识的意义。

前面的讨论我们已经指出过50%的地球面积当时获得的太阳能是0（黑夜），而白天的半球上不同太阳能占有的面积是相等的，即1/2的地球（气象场）的太阳能的分布函数服从均匀分布。

我们知道大气温度依赖于太阳能，温度分布自然也类似于太阳能分布。在熵气象学研究中的统计说明，全球的大气温度也是接近均匀分布的。自然具体分布起来这里需要讨论的问题依然很多。

以上讨论分析说明此类的转移矩阵对应着的极限分布函数是均匀分布函数。但是均匀分布要求的动态平衡是否仅此一类？想一想似乎还可能有其他的转移矩阵，这些容以后再讨论吧。

关于均匀分布对应的转移矩阵我们初步讨论到此，它简单、清楚。我们指望她也是我们分析其他类型的分布函数（如正态分布、gamma分布等等分布）的转移矩阵的跳板。这些以后再讨论。