N个正态峰的概率分布函数的公式

张学文，2015/4/1

我们知道正态的概率分布是个单峰分布函数。现在问是否有多峰的正态分布函数？

记得李小文院士提过类似问题http://blog.sciencenet.cn/blog-2984-704547.html ,我们在分析温度等问题时也遇到这个问题，http://blog.sciencenet.cn/blog-2024-869514.html  http://blog.sciencenet.cn/blog-2024-879070.html  

现在我分析：有，N个正态峰的概率分布函数的公式

一般认为某地某季的温度的平均值是固定的，其不同温度的出现概率应当与正态分布函数差不多。鉴于不同季节的气温显然其平均值不相同。所以我们可以对不同季节获得不同的平均值的不同的正态分布。

现在放下气象特例，而分析随机变量x一种大样本的频率分布，它的理论设想（定义）是它应当有N个正态的峰值。现在探索这具有N个峰的正态分布的通式是什么。

鉴于单峰的状态分布公式是：

f(x)=(1/((2π)^0.5)*σ)exp-((x-a)^2/(2*σ^2))

于是N个平均值。标准差值不同的正态分布公式应当是

f(x)= ∑(ki/((2π)^0.5)*σi)exp-((x-ai)^2/(2*σi^2))

以上求和是针对i的。这里每个i对应一个独立的平均值ai、标准差σi,以及它的概率峰位置，而各个ki是一个系数，并且它们的合计值=1.

显然以上函数对自变量x的积分=1.所以它符合概率密度函数的自然要求。

下面是几个多峰的状态分布的个例的曲线，它们都是根据这个公式计算出来的。它们的标准差都=1（可以变成不同）。

所以结论是正态分布在样本中平均值（以及标准差）存在多个值时，就可以存在多峰的正态分布。而气象学中的温度、压力、相对湿度都可以是它们的例子。

遗憾这个分析无法告诉李院士了。

而当两个峰值（平均值）很接近时，就成为胖正态分布，在平均值比较接近时，又可以是类似均匀分布。