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拓扑熵 (中条)

已有 858 次阅读 2024-4-4 22:51 |个人分类:科研科普|系统分类:科普集锦

拓扑熵是刻画系统无序程度的数值特征。是动力学系统测度熵的一种简化形式,在理论上可以用于数值识别混沌。1965年,为数学处理上的便利,R.L. 阿德克 (Adker)A.G. 康海姆 (Konheim) M. H.麦克安德鲁 (Mc Andrew) 引入拓扑熵的概念。与测度熵相比,拓扑熵不考虑空间分割过程中的概率,而只保留计数问题。

 

把相空间分成许多小格子。由于测量精度的限制,只能判断相点属于那个格子。对于混沌运动,初始状态所在的格子将随时间而扩散,所占的格子越来越多。若设所占格子的数目N与时间t的关系为:

 拓扑熵 (中条)1.jpg

则称h为拓扑熵。混沌系统的拓扑熵为正数。在上面的叙述中没有引入概率的概念,只考虑格子中是否存在相点,有相点的格子都同样地计数,因此是纯粹的几何概念,故有拓扑熵这一名称。

 

对于离散动力学系统,由于拓扑熵只由不同轨道的计数问题决定,通常可以用

 拓扑熵 (中条)2.jpg

计算,式中N(n)是长度为n的不同轨道的数目。

 

在定义测度熵时,若认为涉及的概率均相同,则此时测度熵即为拓扑熵。在一般情况下,可以证明测度熵H与拓扑熵h的关系为H£h。因此,正拓扑熵不能保证正测度熵,而正测度熵一定导致正拓扑熵。

 

鉴于拓扑熵在数学上容易界定,因而在数学文献中有时将正拓扑熵作为混沌的定义。这种用拓扑熵定义的混沌称为拓扑混沌。拓扑混沌意味着运动中有不规则的成分,但并不保证相应的混沌运动在物理上可以观测。具有正测度熵的运动是可以观测到的混沌运动。

 

拓扑熵在混沌的数学描述中起重要作用。然而,对于实际工程问题中出现的动力学系统,由于拓扑熵识别的是数学意义上的混沌,与实验或仿真中出现的混沌不尽相同,因此拓扑熵的应用尚不多。

 

扩展阅读

 

R. L. Adker, A.G. Konheim, M.H. McAndrew. Topological entropy. Trans. Amer. Math. Soc., 1965, 114: 309-319.

 

 

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