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关于“哥德尔的不完全性定理”的讨论(5)

已有 233 次阅读 2022-5-17 01:58 |个人分类:解读哥德尔不完全性定理|系统分类:科研笔记

关于哥德尔的不完全性定理的讨论 - 2022/4/25 - 26 


Druuh:


@柳渝,我想你可能混淆了命题计算与谓语计算。

在数理逻辑中,命题计算为复杂公式中的每个基本命题分配一个真值(真或假,01),而复杂公式的值由布尔代数的计算决定(0 AND 1=00 OR 1=1,等等)。我想,当你提到的概念时,这就是你所指的。

然而,哥德尔定理的框架不是命题逻辑,而是谓词逻辑。哥德尔所说的公式是谓词计算的一个公式。这些公式与命题公式不同,涉及变量和量词。它们本身没有真值,而是与结构有关:同一个公式在一个结构中可能是真的,但在另一个结构中却不是。

公式 "对于任何x,对于任何yxy=yx « 在换元群中是真的,但在非换元群中是假的。

同样,著名的哥德尔公式在N中是真的,但在其他Peano模型中不是真的(这正是它在Peano中无法证明的原因)。

这是否对你有所帮助?你了解这些吗?还是我误解了你的意思?

柳渝:


@Druuh 我想辨别的是,哥德尔构建的真但无法证明的命题是否是存在于PA这样的形式系统中的真实命题,至于此命题是以命题公式还是谓词公式的形式出现的,都可以。

接下来的问题是:

1.如果哥德尔构建的命题在本质上是 "说谎者悖论 ",这意味着哥德尔不完全性定理的证明中可能存在认知偏差。 

2.如果不是,这个命题是什么?它的性质是什么?它是如何建造的?

对于一个命题的可证明性,我觉得Paul引用的那段话有启发:"只有数学家才能说一个命题是可证明的,一个命题不能对自己这么说"Daval & Guilbaud 1945: 45)。




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1 杨正瓴

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