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关于“哥德尔的不完全性定理”的讨论(11)

已有 1936 次阅读 2022-5-29 18:09 |个人分类:解读哥德尔不完全性定理|系统分类:观点评述

关于哥德尔的不完全性定理的讨论 - 2022/5/2 - 5/7


柳渝:


我几乎读完了哥德尔原文的第二章,基本上可以确定,哥德尔构建的为真但不可证明的命题,基本上还是一个说谎者悖论。如果我的解读是有道理的话,那么就表明哥德尔的证明中存在的是大错误而不是小错误。

哥德尔的原文第二章看起来很难读,但实际上并非如此。我们已经在哥德尔不完全性定理的外部谈论了很多,或许现在我们需要看看内部。有感兴趣的人一起阅读第二章吗?

BasicRabbit:

@ 柳渝,如果没有读过第一章,不知道哥德尔本人对哥德尔定理的原始陈述,我就无法对第二章感兴趣。但由于我已经退休,我没有机会进入大学图书馆。在03/04 21h59的评论中,我只问你哥德尔是如何谈论他的定理所适用的理论的一致性的:句法一致性(内部不矛盾),语义一致性(外部模型的存在),没有任何其他精确度的一致性。

我在这里所做的,是为了帮助你。我已经在这里写过,对你或对PJ说,我很长时间以来对一般的形式逻辑不感兴趣,因此对不完全性定理也不特别感兴趣了。也就是说,分析哲学一直旨在消除自然语言的模糊性,以及人们可以据此决定以该语言表述的断言的真实性的原则,而这种哲学在试图理解我们如何信任我们自己的自然语言(对你来说是中文,对我来说是法语)方面仍有意义,这些语言包含悖论:白马非马等。

对我来说,这个问题最深刻的答案是策梅洛给哥德尔的答案(1):应用于PA1的不完备性定理在ZF中是正确的,因为假设ZF在语义上是矛盾的(存在一个ZF的外部模型--哪里?--),那么我们有一个PA1的标准模型存在于ZF的这个模型内部,哥德尔的陈述(仅限于PA1)ZF的一个定理,一个比PA1更强有力的理论。

柳渝:

谢谢你的帮助我完全同意! 哥德尔文章的第1章对他的证明思想进行了非形式化介绍,而第2章对他的证明思想进行形式化,因此第1章非常重要,值得一读!


策梅洛对哥德尔的批评是很严重的!在他的信中,他告知哥德尔,他认为哥德尔证明中存在一个“essential gap 重要的漏洞)


我认为,策梅洛的质疑与我想在我们的讨论中阐明一词的意义相吻合(Yu LI 25 AVRIL 2022):


在我看来,这个词有两个含义:

1,存在意义:虚与实(vraiimaginaire;

2,真理意义:真与假(vrai, faux)

P.S.:

1. 哥德尔文章的英文译本:https://monoskop.org/images/9/93/Kurt_G%C3%B6del_On_Formally_Undecidable_Propositions_of_Principia_Mathematica_and_Related_Systems_1992.pdf

2. 策梅洛的信的中文译文:https://blog.sciencenet.cn/blog-2322490-1337163.html

BasicRabbit:

我在04/04 5:41的评论中给出了我的立场我认为与策梅洛的立场相同:

对我来说,这个问题最深刻的答案是策梅洛给哥德尔的答案(1):应用于PA1的不完备性定理在ZF中是正确的,因为假设ZF在语义上是矛盾的(存在ZF的外部模型哪里?—),那么我们有PA1的标准模型存在于ZF的这个模型内部,哥德尔的声明(限于PA1)ZF的定理,一个比PA1更强大的理论。

所以我重复我在评论中提出的问题,你一定有一个直接的答案,因为你面前有哥德尔不完全性定理的原始陈述。问题是:哥德尔说的是句法一致性(内部一致性)、语义一致性(外部一致性在哪里?还是不指明的一致性?对我来说,这必须是语义上的一致性,PA1标准模型必须是在ZF中构建的模型,那么哥德尔定理(仅对PA1而言)就是ZF的定理。我想象哥德尔非常清楚这一点,因为他熟悉ZF标准模型,即可构造集的子模型。

柳渝:


我不认为策梅洛是在挑战哥德尔关于PAZF不完备性的主张,因为PAZF中确实存在不可判定的问题,比如古德斯坦定理在PA中是不可判定的,还有 Collatz猜想(到目前为止可以认为是PAZF潜在的不可判定的问题)。

策梅洛的批评更多的是关于哥德尔证明的有效性,他认为哥德尔的证明中存在一个essential gap。如果策梅洛的挑战是有道理的话,那么就意味着形式系统的不完全性并不是被哥德尔“证明”出来的,





https://m.sciencenet.cn/blog-2322490-1340725.html

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1 杨正瓴

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