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用自然语言表述的自指陈述是否一定是“病态的” 吗?- 理查德悖论与哥德尔证明,Jean-Paul Bentz

已有 706 次阅读 2022-9-14 05:21 |个人分类:解读哥德尔不完全性定理|系统分类:观点评述

一,译文

我知道这样一个论点:用自然语言表述的自指陈述不一定是病态的(比如说,与说谎者悖论的断言不同)。但我没有这种陈述的例子,我在这里具体说明了我对这种陈述不是病态的要求。

例如,本句由46个字符组成”,这一自指断言是真实的,每个空格都被算作一个字符,这一点是没有争议的。

这个句子 Phi的含义可以象征性地写成,Nbcar(Script(Phi))=46,其中Nbcar字符数函数,而Script书写形式函数。

然而,这句话的真值完全是偶然的。更确切地说,这一断言的语义范围被用来表达它的书写形式编码函数的纯粹任意性所严格限制,并完全依赖于这一任意性选择。因此,断言:本句子由46个字符组成,虽然与前一个断言的含义完全相同,即Nbcar(Script(Phi))=46,但却是错误的。因此对我来说,这句话是病态的。


在对哥德尔证明的分析中,有一点我完全同意让-伊夫-吉拉德(《哥德尔定理》的作者)的观点,而不同意彼得-史密斯(《哥德尔没有(太多)眼泪》的作者)的观点,即这个证明遵循理查德悖论的逻辑模式,而不是说谎者悖论的简单模式。


理查德悖论的构造如下:

假设列出已知的整数属性,然后用一种自然语言,例如法语来表述。这种操作导致了一系列的陈述,如:是一个质数是两个质数之和”,“是一个平方是两个平方之和,等等。

假设这个列表中的语句再按字母升序排列,然后从头到尾(如果有的话!),按数字升序编号。


在所产生的有序列表中,每个语句编号当然会有相应语句所标识的属性,或者没有。


例如,如果语句5涉及是两个素数之和的属性,更一般地说,如果语句编号具有语句所确定的属性,该编号所代表的数将被称为相容的。另一方面,如果数字8涉及到是一个平方的属性,更一般地说,如果语句编号不具有语句所确定的属性,该编号所代表的数将被说成是不相容的


在这些条件下,自相矛盾的问题是,代表与相容属性有关的语句的编码数是相容还是不相容。事实上,为了使这样的数被认为是相容的,它所提到的语句必须涉及相容的属性,而情况恰恰不是这样,因为这个问题涉及定义不相容属性的语句。但是,要使这样的数被认为是不相容的,它所指的语句必须与相反的属性,即相容有关,这也仍然不是事实,因为如上所述,问题涉及定义不相容的属性的语句。

事实上,这个悖论的陈述有4个关键点。(i) 首先,不相容性不是一个与整数相关的算术属性,而是一个元算术属性;(ii) 由于这个不相容性最初并不属于整数的算术属性列表,它必须被事后强迫进入算术属性集合。(iii) 这个元属性的定义和使用需要使用一些操作,这些操作的选择是完全任意的,特别是选择一种语言来陈述算术属性,用来对这些陈述进行分类的顺序类型,以及为将这个元算术属性同化为算术属性所采取的措施。(iv) 最后,没有任何可利用的程序可以让我们直接验证,即通过把我们自己从这些完全任意的选择及其后果的框架中解放出来,验证不相容性是否具有不相容的性质,这似乎是这个悖论的主要纠结。


这四个关键点在不完备性定理的证明中是相同的。事实上,(i)命题的可证明性不是一个算术属性,而是一个元算术属性;(ii)这个属性的元算术意义必须被强迫到算术的框架中,这是哥德尔通过编码/编号系统实现的目标。(iii)哥德尔选择的编码/编号系统是完全任意的,当然任何其他系统的选择也是如此;(iv)没有办法直接验证,即通过摆脱这个编码/编号系统选择的任意性,哥德尔的公式G是否可以证明,因为它除了自身之外没有其他对象。


因此,在可能的编码/编号系统的先验无界集合中,没有办法排除一个编码系统的存在,在这个系统中,公式G的哥德尔数所取的数值(在哥德尔特别选择的编码系统中断言其自身的不可逆性),将意味着,相反,本公式是可证明的。此外,不仅所有可能的编码系统都是完全任意的,而且它们也是完全与算术无关的。因此,在算术范围内,不可能为任意选择这些编码/编号系统中的任何一个进行辩解,并声称它将是唯一能够为哥德尔数所取的值提供真正的元算术解释的系统,该公式G应该断言其自身的不可篡改性。换句话说,不能保证将元算术推理强行折叠和限制在算术内部,更多的是通过算术外的任意约定,可以保持归属于这一推理在算术之外的完整意义。


二,原文

(https://www.pauljorion.com/blog/2022/09/12/les-propositions-auto-referentes-formulees-en-langage-naturel-sont-elles-necessairement-pathologiques-par-jean-paul-bentz/comment-page-1/#comment-929297

Je connais la thèse selon laquelle les propositions auto-référentes formulées en langage naturel ne seraient pas nécessairement « pathologiques » (contrairement à l’assertion du paradoxe du menteur par exemple), mais je n’ai aucun exemple de telles propositions. Je précise ici les exigences que je mets dans cette absence de « pathologie ».

Par exemple, il n’est pas contestable que l’assertion auto-référente : « la présente phrase est formée de 46 caractères » est vraie, chaque espace étant compté pour un caractère.

Le sens de cette phrase Phi peut s’écrire symboliquement Nbcar(Script(Phi))=46, où Nbcar désigne la fonction « Nombre de caractères de », et où Script désigne la fonction « Forme écrite de ».

Cependant, la valeur de vérité de cette phrase est totalement contingente. Plus précisément, la portée sémantique de cette assertion est strictement bornée par la nature purement arbitraire du choix de la fonction de codage « Script » utilisée pour l’exprimer, et totalement dépendante de ce choix arbitraire. Ainsi, l’assertion : « la présente phrase est constituée de 46 caractères », bien qu’ayant exactement le même sens que la précédente, à savoir Nbcar(Script(Phi))=46, est fausse. Pour moi, cette phrase est donc « pathologique ».


Dans l’analyse de la démonstration de Gödel, il y a un point sur lequel je suis en plein accord avec Jean-Yves Girard  (auteur de « Le théorème de Gödel ») et en désaccord avec Peter Smith (auteur de « Gödel Without (Too Many) Tears »), à savoir que cette démonstration suit le schéma logique du paradoxe de Richard, et non pas le simple schéma du paradoxe du menteur.


Pour rappel, le paradoxe de Richard se construit comme suit :

Supposons que les propriétés connues des nombres entiers soient recensées, puis formulées dans un langage naturel, en français par exemple. Cette opération conduit à une liste d’énoncés tels que : « être un nombre premier », « être la somme de deux nombres premiers », « être un carré », « être la somme de deux carrés », etc.

Supposons que les énoncés de cette liste soient ensuite classés par ordre alphabétique croissant, puis numérotés, du premier au dernier (pour autant qu’il y en ait un !), par ordre numérique également croissant.


Dans la liste ordonnée qui en résulte, chaque numéro d’énoncé se trouvera bien sûr soit posséder la propriété identifiée par l’énoncé correspondant, soit ne pas la posséder.


Par exemple si l’énoncé numéro 5 concerne la propriété « être la somme de deux nombres premiers », et plus généralement si le numéro de l’énoncé possède la propriété identifiée par celui-ci, le nombre représenté par ce numéro sera dit « compatible ». Si en revanche l’énoncé numéro 8 concerne la propriété « être un carré », et plus généralement si le numéro de l’énoncé ne possède pas la propriété identifiée par celui-ci, le nombre représenté par ce numéro sera dit « incompatible ».


Dans ces conditions, la question paradoxale est celle de savoir si le nombre représentant le numéro de l’énoncé relatif à la propriété « être incompatible » est compatible ou incompatible. En effet, pour qu’un tel nombre puisse être considéré comme compatible, il faudrait que l’énoncé auquel il renvoie porte sur la propriété « être compatible », ce qui n’est justement pas le cas puisque la question concerne l’énoncé qui définit la propriété « être incompatible ». Mais pour qu’un tel nombre puisse être considéré comme incompatible, il faudrait que l’énoncé auquel il renvoie porte sur la propriété inverse, à savoir « être compatible », ce qui n’est toujours pas le cas non plus puisque la question concerne, comme rappelé précédemment, l’énoncé qui définit la propriété « être incompatible ».

En réalité, l’énoncé de ce paradoxe présente 4 points critiques : (i) d’abord, l’incompatibilité n’est pas une propriété arithmétique associée aux nombres entiers, mais une propriété méta-arithmétique ;  (ii) comme cette propriété d’incompatibilité n’appartient donc pas originellement à la liste des propriétés arithmétiques des entiers, il faut la « rentrer en force a posteriori » dans l’ensemble des propriétés arithmétiques ; (iii) la définition et l’utilisation de cette méta-propriété imposent le recours à des opérations dont le choix est totalement arbitraire, notamment le choix d’une langue pour énoncer les propriétés arithmétiques, le type d’ordre utilisé pour classer ces énoncés, et les mesures prises pour assimiler cette propriété méta-arithmétique à une propriété arithmétique ; (iv) enfin, il n’existe aucune procédure accessible qui permettrait de vérifier directement, c’est-à-dire en s’affranchissant du cadre de ces choix totalement arbitraires et de leurs conséquences, si la propriété d’incompatibilité est, ou non, de nature incompatible, ce qui semble d’ailleurs être le nœud principal de ce paradoxe.


Or, ces 4 points critiques se retrouvent à l’identique dans la démonstration du théorème d’incomplétude. En effet, (i) la démontrabilité d’une proposition n’est pas une propriété arithmétique mais une propriété méta-arithmétique ; (ii) le sens méta-arithmétique de cette propriété doit être « rentré en force » dans le cadre de l’arithmétique, objectif atteint par Gödel au moyen d’un système de codage/numération ; (iii) le système de codage/numération choisi par Gödel est totalement arbitraire, comme le serait bien sûr aussi le choix de n’importe quel autre système ; et (iv) il n’existe aucun moyen de vérifier directement, c’est-à-dire en s’affranchissant du caractère arbitraire du choix de ce système de codage/numération, si la formule G de Gödel est, ou non, démontrable puisqu’elle n’a pas d’autre objet qu’elle-même.


En conséquence, rien ne permet notamment d’exclure l’existence, au sein de l’ensemble a priori non borné de systèmes de codage/numération possibles, d’un système de codage dans lequel la valeur numérique que prend le nombre de Gödel de la formule G (qui affirme sa propre indémontrabilité dans le système de codage spécifiquement choisi par Gödel), signifierait au contraire « La présente formule est démontrable ». De plus, non seulement tous les systèmes de codage possibles sont tout à fait arbitraires, mais ils sont aussi totalement extrinsèques à l’arithmétique. Il est donc impossible de justifier, au sein de l’arithmétique, le choix arbitraire de l’un quelconque de ces systèmes de codage/numération, et d’affirmer qu’il serait le seul à pouvoir offrir « la » véritable interprétation méta-arithmétique de la valeur que prend le nombre de Gödel de la formule G supposée affirmer sa propre indémontrabilité. En d’autres termes, rien n’assure que le repli et le confinement forcé d’un raisonnement méta-arithmétique au sein de l’arithmétique, de surcroît au moyen de conventions arbitraires et extrinsèques à l’arithmétique, puissent conserver intact le sens attribué à ce raisonnement en dehors de l’arithmétique.




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1 杨正瓴

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