模型理论是数理逻辑的一个分支，涉及到结构的构建和分类。特别是，它定义了公理理论的模型，其目的是为了解释数学结构（自然整数集、群、宇宙等）中的句法结构（术语、公式、证明等），以便将它们与语义性质的概念（如意义或真理）联系起来。

历史

用结构解释数学理论的想法早在17世纪就出现了。因此，Abbé Bué和Jean-Robert Argand，然后是Gauss和Cauchy给出了一个几何模型，其中复数当然是方便计算的对象，但在当时没有任何意义，被解释为欧几里得平面的点（复平面有时被称为Argand平面），其运算被解释为几何变换。但毫无疑问，非欧几里得几何学的出现对模型思想的出现最具决定性意义。最初基于欧几里德平行公设的变体，它们似乎只是一种形式上的游戏，在欧几里德几何的绝对真理地位面前，几乎没有可信度。从有可能给它们提供模型，即对点、线等形式概念有具体解释的几何支持的那一刻起，它们就被逐渐接受了。这些模型使得在欧几里得几何中解释非欧几里得几何成为可能。因此，Poincaré从复平面的一个半平面给出了一个双曲平面的模型。后来，希尔伯特在巴黎做了一次演讲，他给欧几里得几何的所有术语赋予了数字意义，以证明欧几里得几何的公理与其他公理的独立性。

模型理论的两位先驱者是Leopold Löwenheim和Thoralf Skolem，他们为所有“序数”（cardinaux）的模型证明了一个强大的存在定理，前者在1915年提出，后者在1920年证明。

1933年，Alfred Tarski在一篇题为《形式化语言中的真理概念》的论文中对真理进行了定义，在这一理论的历史上迈出了重要一步。Tarski的目的是给出一个符合日常语言的真理定义，并澄清对应关系的理论。为了避免逻辑上的反常，他提议用一种元语言来定义“真”和“假”。例如，他将“下雪了”这个命题与现实世界中确实在下雪的观察区分开来。为此，Tarski引入了可满足性的概念，即命题“下雪了”只有在下雪的情况下才被现实（作为公式的“模型”）所满足。这个例子的目的是为了说明语言对象和它的解释之间的区别，这使得命题可以被判断。为此，它引入了对谓词计算语义的形式研究。

然而，直到20世纪50年代和60年代，模型理论才成为一门独立的学科。其先驱者包括Tarski、 Vaught和Morley等。今天，模型论是逻辑学中最重要的分支之一。

模型理论的基本概念

一个语言L是一个常量、函数、谓词和变量的集合。模型理论的研究对象是理论，即公式的集合。一个模型是L上的一个结构，它满足有关理论的公理。

在模型理论中，有两种主要的研究方法：

1）对单独结构的理解，它被认为是赋予了意义[例如，({N} ,+,*)}或({R} ,+,*)}]。

2) 发现一些结构的共同特征的调查[例如，代数结构，如环或体]。

在模型理论的重要定理中，有三个定理起着主要作用，因为它们给出了一个理论拥有模型的一般条件：

(i) 一阶逻辑的紧凑性定理，（公式1和2是等同的）：

1）设X ⊨ φ，φ是一个公式。X中存在一个有限集Xfini，使得Xfini ⊨ φ。

2) 如果一个公式集的任何有限部分Γ有一个模型，那么Γ就有一个模型。

(ii) 哥德尔完备性定理确保在经典一阶逻辑中，反之亦然：每个不矛盾的理论至少有一个模型。它总结了可追溯至 (iii)。

(iii) Löwenheim-Skolem定理：任何理论（在一阶可数语言中），如果有一个无限的模型，也有一个任意无限序数的模型。

模型的应用实例

在几何学中，欧几里德的第五公设与几何学的其他公理无关。事实上，一方面，欧几里得几何的平面是一个模型，在这个模型中，这个公设为真。另一方面，Poincaré半平面是一个双曲几何的模型，在这个模型中，这个公设为假。在这个模型中，宇宙（双曲平面）由上层开放的欧几里得半平面{(x,y)|y>0}的点组成。｝ 双曲平面的线是方程x=a或(x-a)^{2}+y^{2}=R^{2}的集合。

在这个世界中，如果我们给自己一条直线和这条线外的一个点，有无限多的线穿过这个点，并且不与第一条线相切。

在这个例子中，我们看到，我们可以用旧理论的模型（在欧几里得平面中：半平面及其半线和半圆）建立一个新理论的模型（双曲平面及其线条）。如果一个人假设欧几里得几何的“一致性”，那么他就建立了双曲几何的一致性。

参考文献：

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_mod%C3%A8les