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简介“模型理论”

已有 629 次阅读 2022-12-6 18:56 |个人分类:解读哥德尔不完全性定理|系统分类:科研笔记

模型理论是数理逻辑的一个分支,涉及到结构的构建和分类。特别是,它定义了公理理论的模型,其目的是为了解释数学结构(自然整数集、群、宇宙等)中的句法结构(术语、公式、证明等),以便将它们与语义性质的概念(如意义或真理)联系起来。


历史


用结构解释数学理论的想法早在17世纪就出现了。因此,Abbé BuéJean-Robert Argand,然后是GaussCauchy给出了一个几何模型,其中复数当然是方便计算的对象,但在当时没有任何意义,被解释为欧几里得平面的点(复平面有时被称为Argand平面),其运算被解释为几何变换。但毫无疑问,非欧几里得几何学的出现对模型思想的出现最具决定性意义。最初基于欧几里德平行公设的变体,它们似乎只是一种形式上的游戏,在欧几里德几何的绝对真理地位面前,几乎没有可信度。从有可能给它们提供模型,即对点、线等形式概念有具体解释的几何支持的那一刻起,它们就被逐渐接受了。这些模型使得在欧几里得几何中解释非欧几里得几何成为可能。因此,Poincaré从复平面的一个半平面给出了一个双曲平面的模型。后来,希尔伯特在巴黎做了一次演讲,他给欧几里得几何的所有术语赋予了数字意义,以证明欧几里得几何的公理与其他公理的独立性。


模型理论的两位先驱者是Leopold LöwenheimThoralf Skolem,他们为所有序数cardinaux)的模型证明了一个强大的存在定理,前者在1915年提出,后者在1920年证明。


1933年,Alfred Tarski在一篇题为《形式化语言中的真理概念》的论文中对真理进行了定义,在这一理论的历史上迈出了重要一步。Tarski的目的是给出一个符合日常语言的真理定义,并澄清对应关系的理论。为了避免逻辑上的反常,他提议用一种元语言来定义。例如,他将下雪了这个命题与现实世界中确实在下雪的观察区分开来。为此,Tarski引入了可满足性的概念,即命题下雪了只有在下雪的情况下才被现实(作为公式的模型)所满足。这个例子的目的是为了说明语言对象和它的解释之间的区别,这使得命题可以被判断。为此,它引入了对谓词计算语义的形式研究。

然而,直到20世纪50年代和60年代,模型理论才成为一门独立的学科。其先驱者包括Tarski VaughtMorley等。今天,模型论是逻辑学中最重要的分支之一。


模型理论的基本概念


一个语言L是一个常量、函数、谓词和变量的集合。模型理论的研究对象是理论,即公式的集合。一个模型是L上的一个结构,它满足有关理论的公理。


在模型理论中,有两种主要的研究方法:


1)对单独结构的理解,它被认为是赋予了意义[例如,({N} ,+,*)}({R} ,+,*)}]

2) 发现一些结构的共同特征的调查[例如,代数结构,如环或体]


在模型理论的重要定理中,有三个定理起着主要作用,因为它们给出了一个理论拥有模型的一般条件:

(i) 一阶逻辑的紧凑性定理,(公式12是等同的):


1)设⊨ φφ是一个公式。X中存在一个有限集Xfini,使得Xfini ⊨ φ

2) 如果一个公式集的任何有限部分Γ有一个模型,那么Γ就有一个模型。


(ii) 哥德尔完备性定理确保在经典一阶逻辑中,反之亦然:每个不矛盾的理论至少有一个模型。它总结了可追溯至 (iii)。


(iii) Löwenheim-Skolem定理:任何理论(在一阶可数语言中),如果有一个无限的模型,也有一个任意无限序数的模型。



模型的应用实例


在几何学中,欧几里德的第五公设与几何学的其他公理无关。事实上,一方面,欧几里得几何的平面是一个模型,在这个模型中,这个公设为真。另一方面,Poincaré半平面是一个双曲几何的模型,在这个模型中,这个公设为假。在这个模型中,宇宙(双曲平面)由上层开放的欧几里得半平面{(x,y)|y>0}的点组成。} 双曲平面的线是方程x=a(x-a)^{2}+y^{2}=R^{2}的集合。


在这个世界中,如果我们给自己一条直线和这条线外的一个点,有无限多的线穿过这个点,并且不与第一条线相切。


在这个例子中,我们看到,我们可以用旧理论的模型(在欧几里得平面中:半平面及其半线和半圆)建立一个新理论的模型(双曲平面及其线条)。如果一个人假设欧几里得几何的一致性,那么他就建立了双曲几何的一致性。


参考文献:

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_mod%C3%A8les




https://m.sciencenet.cn/blog-2322490-1366810.html

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2 杨正瓴 谢钢

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