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量子叠加之谜

已有 1097 次阅读 2023-2-3 14:55 |个人分类:量子力学|系统分类:科普集锦

量子叠加—量子神奇之源

量子是非常神奇的,强大而神秘。关于量子的很多现象都很难理解,如量子化,量子隧穿,量子纠缠,双缝干涉,薛定谔猫,全同性,量子擦除,等等。而量子叠加是大多数神奇量子现象背后的原因,如量子纠缠,干涉实验(包括量子擦除),薛定谔猫,甚至包括全同性。

量子纠缠是最难理解的量子物理现象,其数学表达就是简单的量子叠加。而量子纠缠是量子通讯和量子计算的第一基石。

量子位的组合和叠加,让量子计算自动并行,不额外消耗硬件资源。可以用很少量量子计算资源表达、存储、和处理天文数字的数据。

薛定谔猫是宏观量子叠加态。

全同性也要通过额外的叠加,以保证粒子的对称性。

既然量子叠加是量子神奇和强大背后的原因,那么什么是量子叠加呢?

我们先看一下,什么是叠加。

什么是叠加

叠加(superposition),名称比较抽象,但只是一个东西叠在另一个东西上面的意思,其实就是简单相加,是规则最简单的操作。很难找到比叠加更平凡的概念。

如果是同样的东西,比如一个苹果叠加一个苹果,就是两个苹果。如果是不同的东西,就简单列出两种东西。比如一个苹果叠加一个香蕉,就是一个苹果加(和)一个香蕉。

叠加自动包括减。比如一个苹果加一个香蕉减一个菠萝,就是一个苹果加一个香蕉再加欠一个菠萝。

经典物理中常见的是矢量叠加。矢量的每个组分维度分别相加或减。如果A=(a0, a1), B=(b0, b1), 那么A = B + C = (a0+b0, a1+b1)。

当然普通标量加法也是叠加。

矢量中,同一维度的才能直接数值相加。凑巧的是,物理学英文词汇中,维度和量纲是同一个词(dimension)。两个物理量,至少要量纲相同,才能数值相加。

叠加和数学上的加法一样,满足交换律:a+b=b+a;也满足结合律:a+b+c = (a+b)+c = a+(b+c)。

从叠加后的结果出发,无法追溯来源。你只有一个量,但不知道它是不是经过多次叠加后得到的。可以有各种可能。

叠加性也是经典波动的基本性质。不同波的波动分量,如位移,电磁场强度,及在不同方向的分量,在该位置点直接叠加,产生波的干涉。如果有两列波经过一个点,A波在该点的振幅是a,B波在该点的振幅是b,那么该点总的振幅就是a+b,即使a和b不是标量也一样。如果波动和介质都是理想的,那么这种叠加就是理想线性的,也就是总振幅一定是精确的a+b。

但对于经典波动,比如声波,水波,介质中传播的光波,等,由于介质不是理想线性的,包含相互作用,经常存在耗散,色散,倍频等非线性效应,那么叠加后的真实振幅就会偏离理想叠加值。所以,经典波一般不是理想线性的。

量子、波函数与概率幅

这里要先澄清量子的概念。前面已经有专门的章节讨论了量子定义的困境。但是我们仍然要简单说明一下量子是什么。德布罗意的物质波假定了所有的物质都是波,都有波的是属性,后来被称为波粒二象性。也就是所有的量子既是波,又是粒子。但数学表述上,所有的量子都是一个几率波。对一个量子的唯一和完全的描述是它的波函数。波函数是所有本征值的概率幅集合,可以算出测量得到任何一个本征值的概率。

所以,在量子力学的数学表达中,量子就是它波函数,是它所有本征值的概率幅。或者说,量子就是其所有本征值概率幅的叠加。所有的量子,本身就是叠加态。

这里有一个问题,什么是概率幅?作为数学分支的概率论中,传统上并没有概率幅的概念。概率幅是在量子力学中出现的概念,其它与概率相关的学科中,也没有概率幅的概念。

概率是很好理解的,它表示了某个事件发生的可能性。0表示不可能,1表示一定发生。0和1中间表示可能性大小。但是概率幅是什么?而且它还是一个复数。如果只是需要开方,我们也不需要概率幅为复数,因为概率是一个正的小数,开方得到的根也是实数。概率幅曾经让早期量子力学物理学家们感到困惑,并且也许体验到了顿悟天机的喜悦感。这也应该是波恩得到诺贝尔物理学奖的原因。

但是概率幅仍然是一个难以理解的概念。

概率幅虽然难以理解,但至少是一个很有用的工具。最重要的一点是,概率幅可以叠加,而概率不能。

举一个掷硬币的例子。如果每次投硬币只有两个结果,正面与反面,概率各为50%,那么投两次并不是每次的概率叠加,也就是必然出现一次正面或反面。我们可以用概率幅表示,将一次投掷的结果表示为:

|ψ> =                                               clip_image001.png

那么两次投掷的结果就是:

|ψ1>|ψ2> = clip_image002.png

H表示正面,T表示反面。

每个状态的概率就是其概率幅1/2的平方,即1/4。出现两次正面或反面的概率都是1/4,出现一次正面的概率是3/4,而不是概率叠加,即1。

但是如果用概率表示,那么只能按照概率论,统计状态数,进行分析,不能按照上面的式子简单计算。

物理波幅是有量纲的,如位移(长度),场强(电场强度或磁场强度),等。但量子波函数的概率幅没有量纲,就是一个数,不是一个物理量。概率也是一个数,没有量纲。

在全局近似诠释中,我们认为薛定谔方程是一个抽象波方程,将波动体系的物理细节抽象掉了,因此量子的波函数是一个抽象波,波幅是被抽象了的物理振幅。它是复数,是因为电磁波在前进方向有两个分量,复数的模恰好反映了电磁波的振幅。模电平方得到波的能量密度,而能量密度与触发各种本地事件的可能性成正比,表现与哥本哈根诠释中的粒子出现概率一致。

量子波函数表达为概率幅,是量子可以在希尔伯特空间使用线性代数表示,和进行各种变换的数学基础。

什么是量子叠加

我们知道了什么是量子,什么是叠加,以及它们各自的性质之后,再来看看什么是量子叠加。

量子叠加就是叠加,仍然是简单相加。对同一个量子,同样本征值的概率幅可以直接相加,不同本征值的概率幅直接列在波函数里。跟我们处理苹果香蕉的例子是一样的。如果是同一个量子,后面可能有归一的问题,即所有概率幅模方和必须为1。

量子叠加同样满足交换律和结合律,同样可以任意线性分解,同样叠加之后无法追溯历史。

我们提到无法追溯历史,是因为在讨论量子计算的天然并行计算的时候,叠加后只有一个量,不能追溯叠加前的数据。也就是,虽然我们进行了并行计算,却无法逐个取出计算的结果。

传统数字计算也无法追踪一个数据的历史,但是传统计算可以追溯整个计算程序,进行检查和排错。现代的数据库管理,包括文件系统,甚至每个文件,逐渐采用保留每次修改记录的日记模式,这样就可以追溯以前所有的版本,和操作记录。量子计算如果需要调试排错,需要考虑这个问题。

叠加性是波的基本性质。量子也是波,即物质波,当然具备波的叠加性。

跟前面讨论过的经典波一般不理想不同,量子波的叠加一般认为是完美理想的,也就是完美线性的。我们从来不讨论量子波的色散,耗散,相速度,群速度,等这样一些在经典波理论中耳熟能详的概念。

一般认为,量子的完美线性来自于薛定谔方程的线性属性。所有的量子都满足薛定谔方程。薛定谔方程是线性的,其解(本征态)的任意线性组合(即叠加)仍然满足薛定谔方程,所以量子态可以叠加。在数学表达上,叠加性是严格的,理想的。我们在讨论量子叠加性的时候,总是当它是理想的。

量子叠加的基本性,也自然导致任何量子都可以以不同的方式分解。所有的量子,本身就是叠加态,我们可以从不同的角度去描述同一个量子态,即进行各种线性变换,包括表象变换。比如,一个能量单一的态(能量本征态),如果变换为坐标本征值空间,在空间上看,是很多不同位置权重点的叠加。

叠加性是量子的基本属性。但在物理上如何理解量子叠加却存在严重的分歧。这一分歧至今没有解决,甚至大家都不关心,然而在如何理解诸多重要概念,比如量子纠缠,薛定谔猫,等等现象时,不同理解的物理图像差别很大,水火不容。

量子叠加的理解

即使在专业人员中,大多数人也没有意识到这个问题,或者认为量子叠加不需要解释,天经地义。的确,量子叠加从数学上看,无论是简单的加法表示,矢量表示,还是求和与积分表示,形式简单而且严格,似乎不应该存在理解的问题。

但是,当我们在争论双缝干涉,粒子究竟怎么通过缝的;以及薛定谔猫,猫是既死又活,还是或死或活;量子叠加的物理意义就是分歧的关键。

薛定谔早在1953年就问出了这个问题:量子叠加性究竟是或-或(either-or),还是既-又(both-and)?

根据量子的数学定义和概率解释,量子每个本征态系数模方是其概率。对于经典概率,多结果事件中不同结果的概率本来是或-或的意思。比如扔硬币,结果只能是正面或反面,而不能既是正面又是反面。

但玻尔对叠加量子态的解释是既-又。薛定谔猫叠加态就是既是死的,又是活的。打开盒子才坍缩到某一具体状态。双缝干涉实验也一样,粒子是同时从两条缝过去的。这些解释显然无法在经典图像中理解。薛定谔坚信,猫只能是死的,或者活的,不存在既死又活的猫。

但是,这里有一个难以察觉的细节问题,那就是,概率并不是概率幅。经典概率意味着或-或,不等于概率幅也必须是或-或。量子波函数是概率幅的集合或叠加,而不是概率。

所以,薛定谔对对量子叠加概率的或-或与既-又之问,又回到了什么是概率幅的问题。




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2 孟利军 杨正瓴

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