精选
1996年-1999年间，我在科学院理论物理研究所念(在职)博士。博士论文课题需要一点曲面曲线论，于是自学北京大学数学系陈维桓先生的《微分几何初步》，这是一本简练的好教材。后来易名为《微分几何》，2006年和2017年分别出版了第一、二版，现为“国家级规划教材”，实至名归。《微分几何》和《微分几何初步》的内容相差无几。
(陈维桓先生的微分几何教材。《微分几何初步》出版于1990年)
曲面曲线论是古典的学问，很多人可能以为无所营养。但是，这本书对我的职业生涯产生了决定性的影响，不仅其中最关键的知识，曲面的曲率，被我用到了量子力学动量中而发现了几何动量，连一些隐秘角落的边角余料(例如切触，平点，Dupin标形等等)，也在我后来的研究和教学中，发挥了重要的作用。人的一生，不一定会碰到贵人；但只要深读，“贵书”就在身边。微分几何就是我的“贵书”。我经常把《微分几何》和王国维的《人间词话》相提并论，认为微分几何是数学中的人间词话。(贵人何在? 烟涛微茫总难求；“贵书”常有，熟视无睹偏不读。唉。)
《微分几何初步》中有两个地方，不大容易理解。一处涉及微分的概念。印象中，陈省身先生在香港的一次讲座中提到过，相比于导数，微分很难理解。
第一处是一个“显然”，参见下图标记处。这里的“显然”，显然是“一个微分=一个数”。这怎么可以？完全不能理解。数学分析中，微分是一个无穷小，小于任何给定的数，如何能等于一个有限的数? 百思不得其解，跑到北大找陈维桓先生请教。他说得头头是道，不过内容基本就是把书上的内容复述了一遍。尽管不懂如故，我还是很珍视陈先生的指教，把他的讲解内容要点，写进了一张小纸条，插进了书页中。他的讲解，对我最终理解成功，也没有任何帮助。后来有数学家告诉我，这部分知识，属于泛函分析，不过直接搬运到了这里。
（这里的显然，显然指“一个微分=一个数”）
（陈维桓先生答疑的记录。记录在当时中国科学院理论物理研究所用的材料纸上，纸很薄半透明）
终于有一天，我理解了这个问题，得益于我对量子力学比较熟悉。这里的微分，前后的含义不同！前面的使用相当于经典力学量，而“显然”之后，变成了算符，而且还是量子力学中的投影算符。当我意识到这一点的时候，把自己吓了一跳：这个“显然”之间，隔了好几个爱因斯坦！经典力学和量子测量理论，显然属于两个不同的范式。连爱因斯坦都没有能进入量子范式。
再后来，我明白了，这里的微分，数学上定义称为切空间对偶空间中的基矢量。
第二处也是一个“显然”，参见下图标。这一内容和具体教科书无关，而是微分几何中的一个知识点。曲面上的任何一点，主曲率可大可小，有最大值也有最小值，这不奇怪。我的问题是，为什么给出最大和最小主曲率的截线的切方向(即两个主方向)是相互正交的? 如果一个曲面复杂，难道也是正交的？这部分的运算简单，推导很好懂。但是结果违背直觉，难以建立图像。过了很多年，我才明白，这个性质，是和一个曲面上的一点可以定义法方向直接联系。任何复杂的曲面，从够小的区域看，可以定义法方向，也就是规则曲面片，两根两个主方向因而具有正交性。这一点，可以通过刚体主轴的可定义性，进行类比。
(曲面上任何一点都可画出这样的正交曲线，这两根曲线的曲率一个最大，一个最小)
（当年读书时画的辅助图，绞尽脑汁可见一斑）
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