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刺破空间的势函数 精选

已有 10869 次阅读 2015-9-5 11:46 |个人分类:大学教育|系统分类:教学心得|关键词:学者| 量子力学, 氢原子

国内对一维氢原子模型的量子力学研究的介绍,基本还停留在国外1960年代的发展水平.先有一个一维空间,在其中定义库仑势函数,然后求量子态但是,一维氢原子势函数奇异的程度,能刺破空间.也就是说,结果发现这个势函数并不在定义的空间中,而是定义在两个独立的半维空间中

不妨把把被能刺破空间的势函数称之为最奇异的势函数.

有些函数在数学上具有很高的奇异性,但是这些函数不会出现在物理世界中,不予考虑.

————————插播:杨正瓴电磁学佯谬————————

8月份在天津呆了一周余.我的办公室和博友杨正瓴兄的实验室只有十分钟的步程之遥,却一直没能找到时间畅聊一番.曾经设想来一场不打(羽毛球)不相识,也没有成功.在仅有的一次短叙中,他给出了一个电磁学佯谬:

两根平行且通有同向电流的导线间有吸引力.但是,(他在)实验中发现,密绕的长螺旋管在通电之后,同向电流导线间不是吸引力,而是排斥力.为什么?

这个佯谬的版权属于正瓴兄.

我曾给出了一个解答,不过由于太匆匆,正瓴兄未置可否.

————————插播完————————

势函数的奇异性只有在量子力学中才能说清楚

为了说明最奇异的势函数能刺破空间,考虑一个强度为 $\gamma$ 的零程吸引势能 $V(x)=-\gamma \delta (x)$ .这个系统仅仅存在一个束缚态 $\sim$ $exp(- \kappa |x|)" style="font-family:宋体;$ ,能量为 $\sim -\gamma ^2$ .这说明函数 $V(x)=-\gamma \delta (x)$ 相当乖巧考虑粒子从左边入射很容易给出透射系数为:

这也是一个漂亮的结果!

问题是,当强度 $\gamma \rightarrow \infty$ 时,“束缚态”就是 $\sqrt{\delta(x)}$ .参见wiki_Deltapotential量子力学容许存在奇异态.所以,如果有人引经据典认证这个奇异“束缚态”的合理性,也不足为奇.但是此时透射系数 $T\rightarrow 0$ .这说明了什么? 这说明这个时候,空间分割为两个互不通信息的两个半无限部分.或者说,x=0处是一个不可穿透的壁!

原来在x=0处的“束缚态”是定义在全空间中的函数,现在全空间变成了两个完全分隔开的半无限空间,“束缚态” $\sqrt{\delta(x)}" style="font-family:宋体;$ 根本就不能定义!

如果利用经典力学,由于没有势垒穿透,无法说清楚空间是否分隔开来.而利用量子力学,势函数的奇异性一目了然.在这个意义上,量子力学比经典力学简单!

从一维氢原子模型出发得不到一维氢原子

一维氢原子模型指的是一个负电荷-q在一个质量无限大的正电荷Q中的运动,最简单的情况是Q=q=e为电子电荷.电势能为,

国内的文献介绍这个问题时,往往还会说这个系统存在一个“基态” $\sqrt{\delta(x)}" style="font-family:宋体;$ .的确,有很多历史文献曾经论证这个基态的合理性.但是,从上面介绍过的现象可以发现,如果这个“基态”存在,空间会被刺破!  事实的确如此.同样考虑粒子从左边入射不难发现透射系数 $T\rightarrow 0" style="font-family:宋体;$ .这个时候,空间又一次被分割为两个互不通信息的两个半无限部分.或者说,x=0处是一个不可穿透的壁!

这就是一件很吊诡的事:从一维氢原子模型出发得到的是两个半无限空间中的氢原子,或者说两个半维空间中的氢原子,每一个都三维氢原子中零角动量的情况.

原来,一维全空间中的库仑势函数本性顽劣,相当于 $V(x)=-\gamma \delta (x)$ 强度 $\gamma \rightarrow \infty$ 的情况

 结语

一维全空间中定义的一维氢原子,是一个自相矛盾的理论模型.可以有多种方式来修正,其中最简单的方式,就是定义在两个半维空间中

一个势函数的奇异性和空间的维数相关,在二、三维空间中的库仑势 $-1/r$ 的奇异性和一维势 $-1/r$ 的奇异性完全不同.前者是一颗绿草,后者却是一壁高墙.



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