数学抽象是指从现实世界中提取出研究对象或实际问题的数量关系、空间形式及变化规律，并用数学符号表示为数学概念或数学模型，从而可用数学语言来刻画客观世界的本质属性与内在规律。

在特定的语境中，数学抽象有时是指“数学抽象的结果”，有时是指“数学抽象的过程”或“数学抽象的方法”。

图1为1000个布朗粒子的位移曲线、1个布朗粒子的位移曲线和瞬时速度曲线，以及《随机过程》和《随机信号分析》对1个布朗粒子位移x(t)的数学抽象结果。

图1 《随机过程》和《随机信号分析》对布朗运动的数学抽象

《随机信号分析》根据“布朗运动瞬时速度为白噪声”的实验观测规律，直接对白噪声n(t)在[0,t]区间积分，得到了布朗粒子在t时刻的位移x(t)。

事实上，工程技术领域的布朗运动现象就是电路中的白噪声通过积分器后产生的（图2），如陀螺随机游走误差，《IEEE Standard Specification Format Guide and Test Procedure for Single-Axis Laser Gyros（IEEE 647-2006）》和中华人民共和国国家军用标准《光纤陀螺仪测试方法（GJB2426A-2004）》就是用白噪声积分来定义布朗噪声（陀螺随机游走）。

图2 《随机信号分析》布朗运动系统模型

《随机过程》混淆了浓度和位移这两个物理基本概念，将描述所有布朗粒子的浓度分布规律f (x,t)～N(0，σ²t)抽象为单个布朗粒子的位移变化规律：

x(t)～N(0，σ²t)

《随机过程》用描述大量布朗粒子集体行为的统计规律来描述一个布朗粒子的个体行为，这就如同用描述大量分子热运动集体行为的温度来度量一个分子的动能一样荒谬。

f (x,t)～N(0，σ²t)的物理意义是：所有（1000个）布朗粒子在t时刻的空间位置服从均值为零、方差为σ²t的正态分布（图3），σ²为白噪声（布朗粒子瞬时速度）的平均功率。

图3 所有布朗粒子在t时刻的空间位置分布

1908年，法国物理学家佩兰对布朗运动进行了实验研究。佩兰在实验中用显微镜观测了200多颗藤黄粒子在不同时刻的位移数据，并计算出这200多颗藤黄粒子在不同时刻的均值和方差。

实验结果表明：这200多颗藤黄粒子在不同时刻的空间位置服从均值为零、方差与时间成正比的正态分布。佩兰的布朗运动实验结果不仅证实了爱因斯坦布朗运动理论的浓度正态分布结论，而且第一次从实验上直接证明了原子的存在，佩兰因此于1926年获得了诺贝尔物理学奖。

《随机过程》把浓度和位移这两个完全不同的物理概念当作同一个概念使用，违反形式逻辑同一律，出现了“混淆概念”或“偷换概念”的逻辑错误，不仅导致布朗运动基本假设中的数量关系与客观事实不符，而且隐藏了与“贝克莱悖论”类似的逻辑矛盾，使《随机过程》布朗运动理论的客观真理性和逻辑完备性在逻辑出发点就遭到彻底破坏，因而在《随机过程》教科书中出现了一系列理论与经验事实不符和逻辑上不能自洽等反常问题。

参考：

布朗运动理论中的反常问题及原因分析（预印本）

《随机过程》布朗运动理论中的八个反常问题