逻辑是一门语言吗？

从莱布尼茨的通用语言，到弗雷格的概念文字，很多的逻辑学家对逻辑的看法首先是想让逻辑成为一门语言，在认知的应用方向，可以替代自然语言。较近的努力包括了德裔美籍逻辑学家、哲学家卡尔纳普（Paul Rudolf Carnap,1891.5-1970.9）的逻辑句法。卡尔纳普把逻辑视为句法问题，他于1934年出版了《语言的逻辑句法》《Logical Syntax of Language》一书，提出了一种基于句法规则的形式语言。按句法规则产生的语句，同时合乎语法与逻辑，只是这里的语法与逻辑不一定需要区分。在卡尔纳普理论里句法的规则分为二类：形成规则（formation rules）和转换规则（transformation rules）。形成规则决定语句如何组成，它的作用相当于自然语言里的语法。转换规则决定语句可以怎样推出其他的语句，它的作用相当于逻辑公理系统里作为公理的重言式集合。可以发现卡尔纳普的方法与前面所说的乔姆斯基的形式文法的相似之处，乔姆斯基理论是在自然语言领域的研究，卡尔纳普的理论是在逻辑领域的研究，但他努力的方向是让逻辑也成为一门语言。

现代逻辑本身也在形成自己的表述方式。与自然语言比较，比如自然语言里的词汇，现在称为概念，并表示为x、y等；自然语言里的陈述句，现在称为命题，并表示为p、q、P（x）、P（x、y）、∀x：P（x）、∃x：P（x）等形式；自然语言里复合句（compound sentence），在逻辑里归为与、或、非对命题的联接；还有强大的推理与证明。虽然具备了这些，在真实的使用中，我们看不到单纯由逻辑符号组织起完整表达的例子，因为逻辑本身抽象出的只是通用的符号与规则。

起源上，逻辑是从对自然语言使用进行专门的总结与抽象开始的。经典逻辑出现后，基本上也是用来分析和处理自然语言语句。经典逻辑本身也主要是用自然语言来表达。在逻辑出现之前，“if”“then”“and”“or”“no”等自然语言词汇已经存在，它们就是后来的逻辑词项。自然语言中也有着更多的量词以及更复杂的量词用法。显然，自然语言中存在内生的逻辑应用，所呈现的逻辑也称为自然逻辑。自然语言的歧义性使得自然逻辑的使用无法呈现出独立清晰的模式，其严谨性也无法得到保证。通过观察自然语言中涉及逻辑词的使用，我们可以进行分析与反思，总结出逻辑学，这正是亚里士多德等前人所做的。新的模态逻辑的出现也是从对自然语言中某些类型逻辑词的研究开始。现代逻辑是否涵盖了自然语言使用中出现的所有逻辑类型，这反而是值得怀疑的。除了自然语言之外，具有原生逻辑应用的另一个地方是数学。经典逻辑之后，逻辑越来越多地与数学相关。

简单地说，经典逻辑是对自然语言使用的再抽象，二者并不在一个平面。自然语言是一种表达意义的系统。在认知方向，自然语言的使用需要表现与刻画外部对象与关系，实现符号与外部世界的对应。逻辑并不直接关心存在什么外在的对象与关系，以及它们如何存在，逻辑没有类似自然语言那样的表义功能。另一方面。自然语言使用时，当所要表达的内容变得复杂，需要不只一个语句来呈现时，一个基本要求是语句之间是无矛盾的，逻辑所关注的就是如何保障这种无矛盾性。目前的做法是将语句区分为前提与结论二种性质，研究从前提到结论的过程与形式，实现只要前提语句为真，过程符合逻辑的规范，结论语句就为真。即结论语句不会与前提语句矛盾。现代逻辑的研究进一步把这种推理过程发展成了一种符号演算的系统，类似于算术的系统。

逻辑以符号使用为对象，发展出了自己的符号系统，自成一类符号结果。这类符号结果是自然语言或数学使用时的一类规范，在认知方向使用符号时的规范，在此意义上本书仍将逻辑视为一种语言。逻辑与自然语言的关系不是替代性关系。任何想替代自然语言的想法，整体上也是不现实的。自然语言源于口语，是人类整体与个体初始化的经验与符号习惯，与人类心智有着根深蒂固的联系，对它的使用已近乎第二本能。

逻辑的应用

逻辑的性质决定了逻辑需要与自然语言或数学结合来使用。理想的方式是：涉及逻辑过程时，自然语言或数学能直接应用逻辑的规则，进行符号的演算，完成逻辑的过程。然而对于自然语言，这一方式只会局部地、有限地存在，整体上是不可行的。自然语言表述方式灵活多变，不拘一格，很难去对应并套用逻辑的规则。潜在地，逻辑可能并不具备对等的表达力。就算采用了逻辑的词项，先形成自然语言的表达，再设法转换为当代逻辑符号的表示，然后去进行逻辑演算，这都不见得可行。对于教学中简单关系的语句，也许这种转换不难实现，真实场景中语句并不像教学时那么简单规范。退一步说，就算这种转换是可行的，对多数人来说，转换非常困难，阅读更不容易。这是当前逻辑的一大问题。数学本身也是抽象符号的系统，没有语义模糊的问题，相对容易与逻辑结合，进行各分支的构建与应用。这种努力业已取得一定的成功，如算术的皮亚诺公理系统。进一步实践则会遇到逻辑与数学的基础，逻辑与数学的关系等困难问题。

当所讨论的内容限定在一个具体领域，因为论域范围是限定的，这为逻辑的应用提供了更有利的条件，并产生了公理的演绎系统。有过于简单的观点认为：建立起初始的概念与命题，余下的过程就是机械、半机械的推理。真实的过程并不是这样，至少领域第一版本公理系统的建立，其过程是领域各部分认知成熟的过程。成书于公元前三世纪的《几何原本》，其第47命题在中国称为勾股定理。此定理在公元前六世纪也由毕达哥拉斯学派证明过，因此又称为毕达哥拉斯定理。《几何原本》里其他的一些定理，多是同样的历史。整体上，欧几里德《几何原本》是古希腊时期，以及之前古代埃及、阿拉伯等地几何知识的集大成。牛顿《自然哲学的数学原理》是更早的开普勒、伽利略、笛卡尔等思想的总结与提升。正是在领域各部分内容有一定明确的基础上，才有可能去提炼初始的概念与公理。逻辑在这的作用主要是组织与整理。通过逻辑的整理，可明确所依据的前提，并保障体系内容的可靠。能否提炼出公理，它们能达到的概括性、经济性与优雅性，即理论系统的成色，这不是由逻辑思维，而是由创造性思考决定的。欧几里德与牛顿的天才也在于此。领域后续版本公理系统的重构，可以对照着前面的版本更快速地进行，这也不一定是基于逻辑规则的符号演算过程。推理与证明的路径是发散的，还需要考虑算法来获得可行的路径。

今天，在自然语言的使用中，以至在数学的使用中，逻辑的应用形式主要是基于人对逻辑的理解，在涉及逻辑过程时，自觉遵循逻辑的要求与规范来使用自然语言或数学的符号，而不是直接套用逻辑符号的演算。逻辑的过程仍要回到人脑的思考，就很难克服自然语言、自然逻辑等既有习惯带来的影响。对照莱布尼茨的原意：发生争论时算一算就可以解决问题，这个理想很难认为已经实现。

逻辑上的觉悟与逻辑学的发展，是不可能被低估的。无矛盾地使用符号始终要以某种方式遵循逻辑，当前可依据的逻辑只能是逻辑学所发展出的内容。由逻辑所带来的影响，我们可以把自然语言的使用划分为二个阶段。第一阶段，自然语言使用时只包含有自然逻辑的自发使用，这一用法在口语时代就已呈现，传统语言学主要就是研究此状态下的自然语言使用。第二阶段，主要指自觉遵循逻辑方式的使用，这一用法基本是在自然语言视觉符号的使用上发展起来的。在自然语言的第一阶段，符号的使用主要是基于语义、语法以及人脑中聚合记忆的机制，再加上自然逻辑。符号使用用于认知方向，也用于其他的方向，如文学。在认知方向的使用主要是对观点的直接陈述，以及基于联想的语句聚合。在自然语言的第二阶段，符号的使用会接受逻辑的影响，比如明确地使用定义，推理，证明等，包括局部套用逻辑的符号与演算。当逻辑在自然语言第二阶段的符号使用中占据主导地位时，可独立使用符号的正式入口是定义而非命名。陈述句也需要当作命题看待，这会遇到一个更难适应的方式，即对命题真值属性的考虑。

在中国，从小学开始的学校教育中，设置有“语文”（Language and Literature）这一课程。此课程主要讲语法，也会讲逻辑，所有类型的文章都会在这一门课程里学习，也就是包含了这里所说的第一阶段的符号使用方式与第二阶段的符号使用方式。文学这样的应用方向，同样的意思每次表达，词汇、语句会追求采用新的不同的词汇、语句，以让读者产生新鲜的感受，所谓语不惊人死不休。显然，这时词汇、语句使用倾向于发散。在认知方向的应用，要求是采用公认有限固定的术语；同样的意思最好是标准的陈述；词汇、语句的使用倾向于收敛。在语篇上，前面提到自然语言在复合语句层次之上的内容组织，并没有语法范围内的规则可遵循，也不再形成某种类型的语法实体。在自然语言使用的第一阶段，语句是通过意义上的相关来聚合，这种相关性是由人来把握的，性质上是主观性的。逻辑的出现，可带来内容组织的一种方法：符号与语句都成为前面内容的后承，后面内容的前提，逻辑的链条串起不同的内容；并且，在逻辑的推理与证明中，一个后承语句可以认为是逻辑机制生成的，而不是由语法机制组合出，只是推导出的语句仍要符合语法的要求。显然，存在二种不同的自然语言符号使用方式。现在，所有的内容都放在同一课程内，学生是否能分别领悟不同的要点，这是一个问题。

第二阶段的自然语言使用，可看作自然语言在认知方向的专门化改变。前述逻辑在语篇层级上对内容的组织，其进一步的发展就是公理演绎系统。公理演绎系统是逻辑与具体领域内容结合的模式。把自然语言的使用划分为二个阶段，意味着自然语言的使用不只是符号组合产生的静态排列，还包括了逻辑演算所带来的动态过程。逻辑的演算并不只是像三段论那样简单，复杂一些的逻辑演算，与数学里的计算同样，需要借助同步的记录，才可能出现与发展。

逻辑符号演算与逻辑思维

逻辑通用的符号与过程不与具体意义相关，那么逻辑学的符号结果反映的是什么？一种常见的说法是：逻辑的符号与过程是人类逻辑思维规律的体现。人类都拥有逻辑思维的天赋，其他很多的动物也同样，否则很难想象它们能进行如合作狩猎这样复杂的活动，更低等生物更简单的活动中也同样体现出逻辑。那么，今天的符号逻辑是否反映了人类逻辑思维的真实规律？答案更可能是人类逻辑思维真实规律的细节是不存在的。说我们的天赋中有逻辑思维的能力，这种能力的存在是抽象的，我们能观察到的只是其在各类具体活动中的表现。符号使用只是其中的一类场景，一种很晚才出现的场景，并且只有人类这一物种才需要面对这一场景。自然语言出现后，我们的逻辑思维以自然逻辑出现于其中。自然逻辑与自然语言一起发展，但始终没有呈现出自己独立清晰的模式。这或说明我们逻辑思维天赋并不那么强大，可以自动形成其应用的稳定模式；或者逻辑思维不一定是可独立存在的。

通过对自然语言中逻辑原生应用的观察与反思，亚里士多德总结出最初的逻辑。这一总结是有限的，观察、反省一类的方法并不充分。现代逻辑学的研究模仿数学的方法，构造一些抽象符号的演算系统，通过对这类符号系统的完善来发展逻辑学。这样的做法使逻辑思维获得一种具象的替代品或者说外化，方便我们对逻辑的探讨与交流。其次，这类符号系统可看作对符号使用中的逻辑运行进行模拟，我们可将符号的演算与可观察到的实际情况进行比较，判断演算的结果是否可以接受。判断的核心标准是不能导致矛盾。如果没有产生矛盾，所构造的符号系统就有可接受的前提，否则需要调整对逻辑符号系统的设计。在无矛盾的前提下，我们可以相对自由地去设想出符号使用各种情形下逻辑思维的可能方式，快速构建符号逻辑演算系统，并通过不断试错去完善。这是一种后天实践发展的方式。

现代逻辑学的成果成为符号使用的一类规范，这类规范可通过遵循逻辑规则的符号演算来达到。如果逻辑符号演算是可施行的，效果上，人脑原有的相应思维也就可被符号的操作所替代，并且，逻辑符号演算过程不受个体心理或其它因素的影响。此时，可以说逻辑符号演算系统在一定程度上代表了逻辑思维规律。更正确的说法是：逻辑符号演算系统是我们先天逻辑思维能力在符号使用场景下的一种扩展。

本书的一个基本前提是我们对人脑内部的过程并没有真正地理解。其中的物理过程都还不能清楚描述，更别说生理的过程，意识的过程，以及符号加入后的变化。有朝一日脑科学足够发达，可以通过解剖去观察研究人类大脑所有的神经回路，我们是否可通过此方式来明确逻辑思维生理上是那些神经回路，从而明确逻辑思维形式应该是什么样。本书不认为存在这种可能。人类先天的逻辑思维能力，可能也包括所有方面的智力，并不是某种成熟的能力，而可能是某种相对微弱的元能力。有了逻辑思维的元能力，我们才能发展出逻辑演算的符号系统，这类符号系统反过来扩展了我们逻辑思维的元能力。这就如算术系统扩展了我们对于多与少的模糊感知一样。逻辑方向的元能力，是不是某种神经系统避免矛盾的机制，这目前无从分析评价。

我们的智力在各方向上的元能力，除了相对微弱外，还具有适应性与可塑性，这是本书的另一假设。以自然语言为例，自然语言的出现背后也有智力上的基础，这被说成是普遍语法或别的什么。在同样智力的基础上，世界各地出现的是五花八门的语种。假设我们符号使用的方式完全不同于现在，逻辑的符号演算系统也将发展出不同的形式。不管怎样，符号层面与智力的生理层面始终是不同的。学习语言时，单纯对语法的学习不一定能明显影响他们的语言使用能力，就如对现代逻辑的学习并不会显著影响逻辑思维能力一样，这二类能力都需要在对语法与逻辑觉悟的基础上，通过实际的使用来提高。