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克拉佩龙方程的积分前提探究
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本文拟结合水的相变过程，探讨克拉佩龙方程的数学积分前提.
克拉佩龙方程的推导
克拉佩龙方程是关于纯物质两相平衡时，压力与温度之间的函数关系.
设某相变：A（α）→A（β） （1）
式（1）对应的克拉佩龙方程循环参见如下图1：
图1.克拉佩龙方程循环示意图
由图1循环可知：dG1+dG4=dG2+dG3 （2）
因过程①及③处于相平衡，则：dG1=dG3=0 （3）
另依热力学基本方程可得：dG2=-SαdT+Vαdp （4）
dG4=-SβdT+Vβdp （5）
将式（3）、（4）及（5）分别代入式（2），并整理可得：
（Sβ-Sα）dT=（Vβ-Vα）dp （6）
则：
（7）式（7）中
式（7）即为克拉佩龙方程微分式.
从热力学角度分析不同温度下的相变，属于不同热力学过程，它们间的
并不存在必然联系.有必要指出：式（7）数学积分，需明确“
”与温度、压强的关系.
2.克拉佩龙方程微分式的积分
2.1 冰的可逆熔化过程
冰的可逆熔化过程属于典型的凝聚相物质间的反应，参见如下式（8）：
H2O(s)→H2O(l) （8）
当温度在一定范围变化时，式（8）的
均可视为常数，此时式（7）积分可得：
（9）
式（9）中
；式（9）可变形为[1]：
（10）
2.2 冰的可逆升华过程
冰的可逆升华过程参见如下式（11）：
H2O(s)→H2O(g) （11）
依题：式（11）属于可逆升华过程，
（12）
另：
（13）
将式（12）、（13）分别代入式（7）可得：
（14）
式（14）变量分离可得：
（15）
设温度在一定范围变化时，式（15）的
与温度及压强无关，则式（15）定积分可得：
（16）
2.3 水的可逆挥发过程
水的可逆挥发过程参见如下式（17）：
H2O(l)→H2O(g) （17）
依题式（17）属于可逆挥发过程，
（18）
另：
（19）
将式（18）、（19）分别代入式（7）可得：
（20）
式（20）变量分离可得：
（21）
设温度在一定范围变化时，式（21）的
与温度及压强无关，则式（21）定积分可得：
（22）
3.结论
如果均为常数，对于冰的可逆熔化过程：
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参考文献
[1]余高奇.水的相图绘制.科学网博客,http://blog.sciencenet.cn/u/yugaoqi666.2022,7.
https://m.sciencenet.cn/blog-3474471-1387375.html
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