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态射是一种粗粒度的映射,势射、感射、知射呢? 精选

已有 2953 次阅读 2024-2-22 09:40 |个人分类:2024|系统分类:科研笔记

一般而言,可以将态射理解为一种粗粒度的映射。在范畴论中,态射描述了对象之间的关系,它可以被视为一种广义的映射,不限于集合和函数之间的映射关系。与传统的映射相比,态射的概念更为抽象和泛化。它可以适用于各种数学结构和领域,如群、拓扑空间、范畴等。通过态射,我们可以研究和描述这些数学结构之间的关系、变换和性质。在某种程度上,态射的确可以被看作是一种粗粒度的映射,因为它不需要关注具体的元素或细节,而是关注对象之间的整体关系。这种广义的映射方式使得态射在描述复杂结构和抽象概念时更具有表达力和适用性。因此,可以将态射理解为一种比传统映射更加宽泛和一般化的概念,它在数学和其他领域中都有着重要的应用意义。为说明两者之间的关系,我们可以考虑两个集合 A = {1, 2, 3} 和 B = {a, b, c},以及一个函数 f:A → B,其中 f(1) = a,f(2) = b,f(3) = c。在传统的函数论中,我们可以将 f 看作从 A 到 B 的映射,即将每个元素在 A 中的对应元素映射到 B 中的对应元素。然而,在范畴论中,我们可以将 f 视为从集合 A 到集合 B 的一个态射,它描述了 A 和 B 之间的关系。在这种情况下,态射不需要考虑具体元素和映射方式,而是关注 A 和 B 之间的整体关系。例如,我们可以定义一个集合 C = {x, y, z},以及一个函数 g:B → C,其中 g(a) = x,g(b) = y,g(c) = z。这个函数 g 也可以被看作是从集合 B 到集合 C 的一个态射,它描述了 B 和 C 之间的关系。现在,我们可以将这两个态射组合起来,得到一个新的态射 h = g ∘ f,它从集合 A 到集合 C 的映射可以表示为 h(1) = x,h(2) = y,h(3) = z。这个新的态射 h 也可以被看作是一种粗粒度的映射,它描述了 A 和 C 之间的关系。通过这个例子,我们可以看到,态射是一种比传统映射更加广义和抽象的概念。它可以描述不同数学结构之间的关系,不仅局限于集合和函数,还可以适用于更广泛的数学领域。在范畴论中,态射的粗粒度特性使得它能够在处理复杂结构和抽象概念时更具表达力和适用性。

同样,势射也是一种粗粒度的态射。

势射:在一个范畴中,如果一个箭头 f:A→B 是一个势射,那么对于任意的箭头 g:A→C,只要 C 是对象 B 的真子对象,那么存在一个箭头 h:B→C ,使得 g = h∘f。换句话说,势射表示具有很强影响力、能够控制其他箭头的箭头。举例:考虑一个范畴 Set,其中对象是集合,箭头是集合之间的映射。对于两个集合 A 和 B,如果存在一个映射 f:A→B,使得对于任意的 A 的子集 C,存在一个 B 的子集 D,使得 f(C) = D,那么 f 是一个势射。这意味着映射 f 具有很强的影响力,可以将 A 中的任意子集映射到 B 中的子集。态射:在一个范畴中,如果存在两个对象 A 和 B,以及一个箭头 f:A→B,那么 f 是一个态射。换句话说,态射表示对象之间的关系或映射。举例:在范畴 Grp 中,对象是群,箭头是群之间的同态。对于两个群 G 和 H,如果存在一个同态 f:G→H,那么 f 是一个态射。这表示 f 将群 G 中的元素映射到群 H 中,并保持群结构不变。简言之,势射和态射是范畴论中的重要概念,势射表示具有很强影响力、能够控制其他箭头的箭头,而态射表示对象之间的关系或映射。势射可以看成是一种粗粒度的态射。"势射"是一个有关粒度和态射的术语,常用于描述粒度较大的态射。在数学范畴论中,态射指的是一种对象之间的映射关系。粗粒度的态射则意味着它们关注的粒度较大,即从一个对象到另一个对象的映射关系比较宽泛。所以,势射通常用来描述具有相对较大粒度的映射关系。具体来说,在拓扑学中,势射常用于研究空间之间的映射,而在其他领域也可以有类似的应用。譬如,在博弈论中,态射可以被理解为策略之间的关系,而势射则是一种粗粒度的描述这种关系的方式。让我们通过一个简单的博弈示例来说明这一点。考虑一个简单的博弈,双方玩家分别是甲和乙。他们有两种可选的策略:A 或 B。我们可以将甲和乙的策略表示为集合 {A, B},而整个博弈可以看作是一个包含两个玩家和各自策略的范畴。现在,我们定义一个态射 f:甲的策略 → 乙的策略,它描述了甲选择某种策略后乙会做出的响应。例如,如果甲选择策略 A,乙会选择策略 B;如果甲选择策略 B,乙也选择策略 B。这个态射 f 描述了甲和乙之间的策略关系。接着,我们定义一个更粗粒度的势射 g:甲的整体策略 → 乙的整体策略,它描述了甲和乙整体策略之间的关系。例如,当甲选择任意策略时,乙总是选择策略 B。这个势射 g 是一种更加宽泛和整体化的描述,不需要具体考虑每个策略的细节和映射方式,而是关注整体的策略关系。通过这个博弈示例,我们可以看到势射是一种粗粒度的态射,它描述了整体的策略关系,而不需要过多地关注具体的策略选择和反应。这种广义的描述方式使得势射能够更好地表达博弈中玩家之间的关系和相互作用,从而帮助我们更好地理解和分析博弈过程中的决策与结果。

知射和感射都是基于主观认知的方法,用于发现世界对象之间的潜在模式和关系。

知射是指通过主观的知觉和思考来发现事物之间的模式和关系。它依靠个人的认知能力和知识储备,通过观察、分析和理性思考来揭示对象之间的规律和联系。知射注重逻辑、推理和思维的过程,通过分析数据和信息来发现潜在的模式。知射是一种基于逻辑推理和理性思考的方法,它使用已有的知识和观察到的现象来推断和揭示事物之间的关系。例如,科学家通过实验和观察积累了大量的数据和知识,然后使用逻辑推理的方法来发现事物之间的规律和模式。他们可以通过分析数据和提出假设,然后通过实验验证假设来确定事物之间的关系。

感射是指通过主观的感知和直觉来发现事物之间的模式和关系。它依靠个人的直觉和感知能力,通过感觉、感知和情感的体验来揭示对象之间的规律和联系。感射注重非理性和直觉的过程,通过直觉和情感的感知来发现潜在的模式。例如,艺术家可能会通过观察自然景物和生活中的事物,用自己独特的感知和直觉来描绘出一幅画作。他们在创作的过程中往往能够捕捉到事物之间的潜在模式和关系,从而创造出富有艺术性的作品。

艺术可以被视为对世界的“误解”,因为它不仅仅是对现实的直接描绘,而是通过艺术家的主观感受和表达来重新诠释和解读世界。艺术家通过自己的视角、情感和想象力来创作作品,可能会加入他们自己的观点、偏见和独特的理解。艺术作品可以是对现实的片面或不准确的表达,因为艺术家的主观经验和个人背景会对作品产生影响。艺术家可能通过夸张、变形、符号等手法来诠释现实,以便传达他们对世界的感知和理解。这种诠释可能会导致观众对现实产生误解或不同的理解。然而,艺术的“误解”也是其价值和魅力所在。艺术作品可以引起观众的思考、感动和共鸣,激发他们对自身和世界的思考和反思。艺术的主观性和多样性使得观众可以从中发现新的视角和体验,从而丰富了对世界的理解和感知。艺术是一种通过个人主观感受和表达重新诠释和解读世界的方式,因此可以说是对世界的“误解”。然而,这种误解也是艺术的价值所在,它能够启发观众思考和体验,丰富人们对世界的理解。

这两种方法都是基于主观认知的,但在应用和领域上有所区别。知射更多地应用于科学和学术领域,通过系统性和逻辑性的思考来揭示事物之间的模式和规律。感射则更多地应用于艺术和文学领域,通过个体的直觉和感知来表达事物之间的关系和意义。无论是知射还是感射,都能够帮助我们发现世界中的潜在模式和关系,从而深化对事物本质的理解。



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2 王安良 郑永军

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