唐白玉
[转载]用多项式之比表达复值白噪声和系统频率响应
2020-10-12 13:01
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标签:多项式, 频率响应, DFT, Scilab

原载 http://blog.sina.com.cn/s/blog_729a9214010304b7.html

      曾提到较直接地估计系统函数的分子和分母多项式系数,可借鉴frep2tf的成功处。不受那些应用所限,面向宽泛背景,本短文演示些基础测试。居士做了拟合函数子程序PdnLinFit存入TexpSubs.bin归并极点模型处理,其第二个输入是待处理的数据序列,相对应的多项式自变量值由第一个输入给定,它们可以都为实数;第三个输入有两个元素,分别指定分母和分子的阶次(阶数),相等时可以损去后一个数;仅当第四个输入为字符cc时,才允许在需要时用复系数(分两段简称之为分子系数、分母系数)多项式。其内不限变元物理意义,不做尺度伸缩、复频率或角频率等转换,设这些复合于输入里以定输出的意义;拟定分母没有根为零,但不预备插值或外推或者作传函时系统的稳定性。

       测验程序PdnFitNtf.sce如图片1.所示。主体MorFr2tf有外内两重for循环,分别指定复值白噪声序列y的长度N取值和噪声试验的序号。高斯噪声y的实部和虚部都用函数rand直接生成后乘以增益因子K0。K0为-6至6之间均匀分布随机数的exp值,约可跨[0.0025,400]。多项式自变量值x初始定为exp((%i*2*%pi/N)*(0:(N-1))),但是,内循环里读取一个正态随机数,当且仅当它大于理想均值时,先对x做复共轭运算改变指数的符号。每次用均匀分布随机序列的元素排序,确定数据及其自变量的实际重排输入。分母和分子的阶次都在[0,N-1]上随机取值,而总和为N-1不变。这组拟合测试允许复系数。把得到的多项式,作为Scilab的horner的输入,计算函数值z。计算z与原y之间的相对误差(范数比;用“伪”随机数,常假设除数不为零),记入误差矩阵NR0,矩阵的行和列号即为内和外层for循环指针。

       把y叠加上它自身的保持零位点在首而其余倒序的复共轭序列。直接使用前面复系数时的分子和分母阶次。只截取这个新y和前面x的开始部分,用于计算实系数复变元多项式。取用数据的长度,是随机的但多于一半。计算新z,把它与全长y之间的相对误差,记入矩阵NR1。

       按frep2tf帮助文档中的10维状态空间随机系统的例子,生成频率响应在其固定的等对数间隔频率点的值。把频率响应乘以上述K0得y2,然后用于PdnLinFit求分母和分子,其中输入的分母和分子阶数为10、9与分别随机抽取的0、1或2之和,不强迫分子比分母有更低阶次。令其结果作为连续时间系统传函,输给repfreq计算频率响应z2,把z2与y2的相对误差,记入矩阵NR2。

       最后用三行显示三个误差矩阵元素的最小值、均值、标准差、最大值。结果如图片1.的右上角所示,显示了很小的误差(一般大于10的负15次方;用6.0.0类似),如可逆变换似地表达了白噪声。测验了噪声序列的36种长度值,1、2、3、4,5、8、11......95、98,各做了50次。

       正态随机变量,实际取值附近的概率密度不比理想均值0处大,但零概率奇迹一个接一个发生了序列。“有”就才是奇迹。程序中备用1代替等于0的除数的语句,被注释符关闭了,其条件检测和赋值等本不算增加负担;序列短至单点,也未现错误。误差矩阵未显非数字的符号。不限定随机数种子,反复运行程序多次,也还未见repfreq处理随机系统时遇被零除。

      有人担心或不喜欢平常多项式的疯狂增长或它们曲线族的张牙舞爪时,可试把物理变量先复合到更显灵秀的无阻尼复指数函数系中;“Fourier”极广布于人类现代科技文献中,数字化深刻地改变人类社会,这些或添鼓励。在第一和二部分测试中,固定选有理整式的形式,限分母为零阶多项式吸收与N有关的常数因子,可以比较DFT和IDFT以及分子的N个系数。低阶拟合应用中抗白噪声的能力,有赖于数据相对于模型自由度的冗余度,希望待定参数尽量少,可丢掉次要的东西。

       此所谓零阶多项式,仍包括任意复数,即使它限于分子时恒等于真0。但是,6.1.0版degree已对0例如形式上求得10的-330次方,特约输出为负无穷大,与旧版本不同了,好在coeff和horner更兼容。居士感觉用“阶次”特顺(用传函、频响等简称时类似,但不确定起因),也笼统地指阶数或次数。沿初等代数的习惯,宜用“次”(相乘的次数,用一个“文字”或“符号”),但所谓的首项系数不能为零,零多项式的次数没有意义它不同于零次多项式,这样“次”偏重言某个多项式或部分。很多情形要涉及阶,例如函数的n阶泰勒多项式、方阵的阶及其特征多项式、微分方程中求导的次数、线性系统的多阶极点等。居士认为,就建模处理而言,“阶”偏重指容许的多项式集里的最高次数,一种形式设定或界限或者期望的表达“度”,视次数更低的多项式只不过是较高次项系数为零而已,负无穷界于整数有限值以下也就可行了。

       有时不同运行方式或载入途径或者其它任务忙等可能引起微差别,有点像曾提过的eps和FFT那样,但居士未见bin文件包方式及其环境有大碍。

                                    新浪赛特居士SciteJushi-2020-10-12。

图片1.测验多项式之比表达白噪声和系统频响

PdnFitNtfw.png

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