13.  玻色因错误发现量子统计    费米被誉为理论实验通才

在介绍玻爱争论之前，我们曾经介绍过波尔兹曼，他是统计力学大师，最后因抑郁症而自杀。波尔兹曼研究的是经典粒子的统计行为，那么，量子力学中粒子的统计行为是怎么样的？为何与经典粒子统计规律不同呢？这段历史将再次让我们的目光返回到旧量子论的年代。

图13-1：波色和费米

从现代物理学的观点，量子统计的规律有两种：波色-爱因斯坦统计，和费米-狄拉克统计。这四位物理学家中的爱因斯坦是人人皆知的大神，费米和狄拉克也都在诺贝尔奖的榜上有名，可这个玻色是谁呢，很多人都没听过，此外，本系列文中尚未介绍费米，因此，本节我们就介绍一下玻色和费米。

·一个概率问题

玻色的确不是那么有名，印度人，属于第三世界的物理学家，固然受很多条件所限。不过，由他而命名的玻色子在物理学界还是挺有名的。对玻色子统计规律的研究是玻色一生中唯一一项重要的成果。

有趣的是，玻色是因为一个“錯誤”而发现玻色子统计规律的。1921年左右，在一次有关光电效应的讲课中，玻色犯了一个类似“掷两枚硬币，得到“正正”概率为三分之一”的那种错误。没想到这个错误却得出了与实验相符合的结论，也就是不可区分的全同粒子所遵循的一种统计规律。

什么叫“掷两枚硬币，‘正正’概率为三分之一”的那种错误？另外，什么叫“不可区分的全同粒子”？两个粒子可区分或不可区分，会影响概率的计算吗？

我们看看在现实生活中如何计算概率。如果我们掷两枚硬币，因为每个硬币都有正反两面，所有可能的实验结果就有四种情况：正正、正反、反正、反反。如果我们假设每种情形发生的几率都一样，那么，得到每种情况的可能性，各是四分之一。

现在，想象我们的两枚硬币变成了某种“不可区分”的两个粒子，姑且称它们为“量子硬币”吧。这种不可区分的东西完全一模一样，而且不可区分。既然不可区分，‘正反’和‘反正’就是完全一样的，所以，当观察两个这类粒子的状态时，所有可能发生的情形就只有“正正”“反反”“正反”三种情形。

图13-2：“可区分”和“不可区分”粒子的统计规律不一样

这时，如果我们仍然假设三种可能性中每种情形发生的几率是一样的（尽管这好像不太符合我们对于实际“硬币”的日常经验，但不要忘记，我们考虑的是某种抽象的“量子硬币”！），我们便会得出“每种情况的可能性，都是三分之一”的结论。这个例子就说明了，多个“一模一样、无法区分”的物体，与多个“可以区分”的物体，所遵循的统计规律是不一样的。

·玻色的错误

纳特·玻色（Nath Bose，1894年－1974年）出生于印度加尔各答，他的父亲是一名铁路工程师，他是七名孩子中的长子。玻色在大学时得到几位优秀教师的赞赏和指点，但他只得了一个数学硕士，并未继续攻读博士学位，就直接在加尔各答物理系担任讲师职务，后来又到达卡大学物理系任讲师，并自学物理。

图13-3：玻色（后排左2）和加尔各答大学的科学家们

大约1922年左右，玻色讲课时讲到光电效应和黑体辐射时的紫外灾难，他打算向学生展示理论预测的结果与实验之不合之处。那时候，新量子论（量子力学）尚未诞生，已经使用了二十多年的旧量子论，不过是在经典物理的框架下，做点量子化的修补工作。至于粒子的统计行为，需要应用统计规律时，仍然是波尔兹曼的经典统计理论。物理学家们的脑袋中，绝对没有所谓粒子“可区分不可区分”的概念。每一个经典的粒子都是有轨道可以精确跟踪的，这就意味着，所有经典粒子都可以互相区分！

玻色也是一样，他想对学生讲清楚黑体辐射理论与实验不一致的问题。于是，他运用经典统计来推导理论公式，但是，他在推导过程中，犯了我们在上面所述的那种“错误”，简单而言，就是将丢两枚硬币时出现“正正”的概率，误认为是三分之一。但是。万万没想到这个偶然的错误却得出了与实验相符合的结论。

为什么数学错误反而得到正确物理结论，此事蹊跷。聪明的玻色立刻意识到，这也许是一个“没错的错误”！他继续深入钻研下去，研究概率1/3区别于概率1/4之本质，悟出一点道理，他写出了一篇《普朗克定律与光量子假说》的论文。文中，玻色首次提出经典的麦克斯韦-波尔兹曼统计规律不适合于微观粒子的观点。他认为是因为海森堡不确定性原理导致变动构成的影响，使得需要一种全新的统计方法！

然而，没有杂志愿意发表这篇论文，因为他们都认为玻色犯了当时统计学家看来十分低级的错误。

后来，1924年，玻色突发奇想，直接将文章寄给大名鼎鼎的爱因斯坦，不料立刻得到了爱因斯坦的支持。玻色的“错误”之所以能得出正确结果，因为光子就正是一种不可区分的、后来被统称为‘玻色子’的东西。对此，爱因斯坦心中早有一些模糊的想法，如今玻色的计算正好与这些想法不谋而合。爱因斯坦将这篇论文翻译成德文，并安排将它发表在《德国物理学期刊》上面。

玻色的发现是如此重要，以至于爱因斯坦开始写一系列论文，研究他称之为“玻色统计”的东西。因为爱因斯坦的贡献，如今，它被称为“玻色-爱因斯坦统计”。之后又有了超低温下得到“玻色-爱因斯坦凝聚”的理论。

这可以说是一个诺奖级别的工作，遗憾的是玻色本人像一颗划过天空闪亮一时，又转瞬即逝的彗星一样，之后在科学上没有大作为，最终与诺奖无缘，1974年于80岁高龄死于加尔各答。

·全同粒子

玻色的“错误”能得出正确结果，正是因为光子是不可区分的。这种互相不可区分的一模一样的粒子在量子力学中叫做“全同粒子”。

所谓全同粒子就是质量、电荷、自旋等内在性质完全相同的粒子。在宏观世界中，可能不存在完全一模一样的东西，即使看起来一模一样，它们也是可以被区分的。因为根据经典力学，即使两个粒子全同，它们运动的轨道也不会相同。因此，我们可以追踪它们不同的轨道而区分它们。但是，在符合量子力学规律的微观世界里，粒子遵循不确定性原理，没有固定的轨道，因而无法将它们区分开来。量子力学中，有两种类型的全同粒子：玻色子和费米子。分别以玻色和费米两位物理学家而命名。它们分别服从两种不同的量子统计规律。

光子就是玻色子。不可区分的全同粒子算起概率来的确与经典统计方法不一样。如图13-2a所示，对两个经典粒子而言，出现两个正面（HH）的概率是1/4，而对光子这样的玻色子而言，出现两个正面（HH）的概率是1/3（图13-2b）。然后，费米子又是些什么玩意儿呢？

在图13-2c中，我们图示了玻色子和费米子的区别。费米子也是全同粒子，它是符合泡利不相容原理的全同粒子，比如电子！因为泡利不相容原理，两个电子不能处于同样的状态。仍然以两个硬币为例，可以说明费米子的统计规律有何特别之处。两个硬币现在变成了两个‘费米子硬币’。对两个费米子来说，因为它们不可能处于完全相同的状态，所以，四种可能情形中的HH和TT状态都不成立了，只留下唯一的一个可能性：HT。因此，对两个费米子系统，出现HT的概率是1，出现其它状态的概率是0。

·费米的贡献

研究费米子统计规律的功劳，要归于美国籍的意大利裔物理学家恩里科·费米（Enrico Fermi，1901年－1954年）。

图13-4：费米和位于美国伊利诺伊州的费米国家实验室

以费米名字命名的物理对象很多：费米子、费米面、费米-狄拉克方程、费米-狄拉克统计、费米实验室、费米悖论……还有100号化学元素“镄”、美国芝加哥著名的费米实验室、芝加哥大学的费米研究院等等。但了解费米其人的大众却不多，这是因为费米一生处事低调，淡泊名利。

恩利克·费米（Enrico Fermi，1901-1954），美籍意大利裔著名物理学家、美国芝加哥大学物理学教授，费米首创β衰变的定量理论，设计并建造了世界上第一台可控核反应堆。费米是1938年诺贝尔物理学奖获得者，他对理论物理和实验物理均做出了重大贡献，因而被称为现代物理学的最后一位通才。

费米作为家中最小的孩子，童年的费米身材瘦小，不爱说话，看上去缺乏想象力，似乎不够聪明。这又一次地应了中国人那句老话：大智若愚。费米聪明不聪明，看看费米一生的成就、在物理学上的造诣就明白了。

10岁的费米就能独立理解表示圆的公式X²+Y²=R²，他很小就熟练地掌握了意大利语、拉丁语和希腊语。18岁时，他因为一篇《声音的特性》的论文引起了物理学权威们的关注，1929年，未满30岁的费米成为意大利最年轻的科学院院士。

作为院士的费米知名度提升，但他为人仍然十分低调。据说有一次，费米和妻子一起到一家旅馆，老板问他是不是费米院士“阁下”，费米随口回答说自己是那个院士费米的远房亲戚。

费米在30岁时成为意大利科学院院士当之无愧，因为他在25岁时，就发现了我们这儿介绍的费米子遵循的量子统计！1926年，费米和狄拉克各自独立地在发表了有关这一统计规律的两篇学术论文。两位科学家都很低调和谦虚，狄拉克称此项研究是费米完成的，他将其称为“费米统计”，并将对应的粒子称为“费米子”。

不同微观粒子的全同性统计行为有所不同，是来源于它们不同的自旋，及此自旋导致的不同对称性。玻色子是自旋为整数的粒子，比如光子的自旋为1。两个玻色子的波函数是交换对称的。也就是说，当两个玻色子的角色互相交换后，总的波函数不变。另一类称为费米子的粒子，自旋为半整数。例如，电子的自旋是二分之一。由两个费米子构成的系统的波函数，是交换反对称的。也就是说，当两个费米子的角色互相交换后，系统总的波函数只改变符号。（见图13-5中的右边二图）

反对称的波函数，与泡利不相容原理有关。所有费米子都遵循这一原理。因而，原子中的任意两个电子不能处在相同的量子态上，而是在原子中分层排列（见图13-5中的左边二图）。在这个基础上，才得到了有划时代意义的元素周期律。

图13-5：玻色子和费米子的不同特性源于不同的自旋波函数

 因为玻色子喜欢大家同居一室，大家都拼命挤到能量最低的状态。比如，光子就是一种玻色子，因此，许多光子可以处于相同的能级，所以，我们才得到了激光这种超强度的光束。总结一下：光子是玻色子，电子是费米子，原子呢？原子是复合粒子，情况要复杂一点。对复合粒子来说，如果由奇数个费米子构成，则为费米子；由偶数个费米子构成，则为波色子。如为波色子的原子，在一定的条件下，降低温度到接近绝对零度，所有玻色子像是突然‘凝聚’在一起，那时会产生一些平常物质中观察不到的‘超流体’的有趣性质，这被称为“玻色-爱因斯坦凝聚”。通过对“玻色-爱因斯坦凝聚”的深入研究，有可能实现‘原子激光’之类的前景诱人的新突破。

因此，全同粒子的玻色子或费米子行为，是量子力学最神秘的侧面之一。　

正好在费米获得诺贝尔奖的那一年，意大利的墨索里尼开始逮捕和迫害犹太人。因为费米的夫人是犹太人，所以费米便利用到瑞典领奖的机会，举家逃到了美国，并在哥伦比亚大学任教。

1941年底，在爱因斯坦等人的提议下，美国政府决定启动名为“曼哈顿”的原子弹研制计划，费米成为主要的参与者之一。他指挥建造了世界上第一座“人工核反应堆”，并将它秘密转移到新墨西哥州洛斯阿拉莫斯峡谷附近，最后终于在1945年的7月12日制成了世界上第一颗原子弹。四天后，这颗原子弹被成功引爆。

科研生涯的最后几年，费米还从事高能物理的研究。天妒英才，正值事业巅峰期的费米在食道癌和胃癌的双重打击下，于1954年11月28日逝世于芝加哥的家中，时年仅仅53岁。