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圆锥曲线的启示 精选

已有 6775 次阅读 2022-2-4 09:12 |个人分类:系列科普|系统分类:科普集锦

1,简述

 

什么是圆锥曲线?直观而言且顾名思义,它们指的是在几何学中由平面和直圆锥相交产生的曲线,如图1所示。平面与圆锥相交的角度不同时,可以产生圆、椭圆、双曲线、抛物线等。一般来说,我们将这几类曲线统称为“圆锥曲线”。从图1中可以看出各种圆锥曲线的大致形态:圆和椭圆是闭曲线;抛物线是一条线;而双曲线有两个分支,等等。同时也看到在某些特殊角度下,曲线可能退化成直线的平凡情形。

 

1:圆锥曲线是平面与圆锥的交线(视频)

 

圆锥曲线均为平面曲线,因此更方便在平面上定义它们。

 

平面上定义它们的方法有两种:一是描述为移动点的路径(轨迹)。也就是说,圆锥曲线是到固定点(焦点)的距离与到固定线(准线)的距离之比为常数的点的轨迹。这个比值称为曲线的偏心率。如果偏心率为零,则曲线为圆;如果等于一,则为抛物线;如果小于一,则为椭圆;如果大于一,则为双曲线。偏心率完全表征了圆锥曲线的形状,见图2

2:定义圆锥曲线为动点轨迹

 

圆锥曲线也可以在平面上解析地用一个形式为Ax2 + By2 + 2Cxy + 2Dx + 2Ey + F = 0的二次多项式来定义,其中ABC不同时为0,方程可以简化。



2,古希腊的研究

 

让我们追溯一下圆锥曲线之历史。说到平面几何,大家都想到欧几里得,但说到圆锥曲线,人们更容易联想到解析几何。然而,圆锥曲线研究的起源,仍然要归功于2000多年前的几位古希腊数学家:据说欧几里德和阿基米德都研究过圆锥曲线,还有希波克拉底(Hippocrates of Chios,前470 –410 )等,不过大家公认的进步是始于墨奈克穆斯(Menaechmus,前380–320 )和阿波罗尼奥斯(Apollonius of Perga,前262-190)。

 

3:研究圆锥曲线的先驱

 

第一位研究圆锥曲线的墨奈克穆斯,他是柏拉图的学生。有意思的是,他的研究起源于尺规作图“倍立方” 问题的研究。倍立方问题也叫提洛斯问题,因为它起源于一个传说故事。

 

古希腊的提洛斯岛(Delos,传说是太阳神阿波罗的出生地)发生了一次瘟疫,当居民向阿波罗祈祷时,神谕说:“他们需要把正方体的祭坛加到两倍,瘟疫才能停止”。

 

于是便有了这个柏拉图也解决不了的倍立方问题,因为它涉及到已知单位长度要求2的三次方根:= 1.25992104989……是一个无理数,无限循环,不能精确地造出新的祭坛,使其体积两倍于原来的,除非用几何方法作出一个线段等于它。

4:倍立方问题

 

当年有位数学家叫希波克拉底,不是提出希波克拉底医生宣言的那一个!希俄斯岛的数学家希波克拉底对“化圆为方”也有研究并发现了“月牙定理”。他将倍立方体问题做了一点变动,转化为寻找两条线段长度的两个比例中项的问题。

 

a:x=x:b,则x= √(ab)就是ab的比例中项(也称“几何平均值”)。当a=1b=2时,这个线段是2的平方根,可以用尺规作图作出来。但是在“倍立方” 问题中说的比例中项与上面定义有所不同,或许可以称为二次比例中项:简言之,问题中有两个未知数x y,满足方程:a:x = x:y = y:b。例如,当b = 2a 则可从上面方程解出:x = (2)a。也就是说需要寻找2的三次方根(2),这在当时是不可能的。因此,对于长度为 a b 的一对给定线段, 若能(用几何方法)找到x (2)a,则可以解决倍立方” 问题。

 

人们折腾半天也无法将 “倍立方” 问题用严格的尺规作图法解决。因此,数学家们便退而求其次,加上一点辅助工具。最早的解决方法之一是由比柏拉图晚了约半个世纪的墨奈克穆斯用加上(抛物线)给出的。墨奈克穆斯 还定义了其它圆锥曲线,因此,在数学史上,墨奈克穆斯被认为是最早定义圆锥曲线 conic section)的人,这比当时解决“倍立方” 问题,具有大得多的数学(科学)意义。

 

5:不能尺规作图的倍立方问题

 

用现代解析几何的语言来描述,墨奈克穆斯倍立方” 问题(非尺规作图)方法的解决用了两条抛物线: x2 = ay y2 = 2ax 不难证明, 这两条抛物线除原点以外的交点的 x 坐标为 x = (2)a 正是让边长为 a 的立方体体积加倍所需的边长,见图6

 

抛物线x2 = ay整条线不能用尺规作图画出来,但可以用尺规作图得到它上面的每个点,因为xay的(一次)比例中项。

6墨奈克穆斯分析倍立方问题

 

最后,为圆锥曲线命名,第一次采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线,并作全面总结是阿波罗尼奥斯,他的著作《圆锥曲线》是其中的巅峰之作,是古代世界最伟大的科学著作之一。阿波罗尼奥斯的成就巨大,以至于在后面的上千年里,在圆锥曲线研究方面,都没有什么突破。

 

千年后的突破伴随着在天文学、力学和光学中的应用。

 

3,应用

 

与圆锥曲线相关的聚焦光线一类的应用很早就有,例如传说中的阿基米德发明了“聚光镜”成功击退敌军的故事等。

 

1609年,德国著名数学家开普勒(Kepler15711630)发表了他的行星运动定律:每一个行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳,而太阳则处在椭圆的一个焦点上。据说开普勒最早使用“焦点”一词,后来的德威特发明了“准线”一词。伽利略(Galilei1564-1642)研究地面上的弹道轨迹,得出它们是抛物线的结论。加上后来望远镜的发明。这些应用成果让圆锥曲线的研究再次扬帆起航。

7:开普勒行星运动定律

 

伽利略既是天文学家数学家,又是物理学家和工程师。他发明制作了第一台天文望远镜并改进了望远镜的光学性质,他也发现了地面上物体斜抛运动的轨迹是抛物线的事实,这些都促进了圆锥曲线的应用和研究。

 

8:伽俐略确定弹射轨迹是抛物线

 

圆锥曲线的应用主要是在光学和天体运动方面,天文望远镜的发明和应用将这两方面联系起来,两者对现代科学诞生和发展的作用无需多言。

 

 

圆锥曲线有特别的光学性质,举反射而言:

1从椭圆的一个焦点出发的光线,经过椭圆的反射,经过另一个焦点;

2从双曲线的一个焦点出发的光线,其反射光线的反向延长线过焦点;   

3从抛物线焦点出发的光线,其反射光线平行于对称轴。

   

这种光学上的聚焦性质,是焦点一词的来源。圆锥曲线的光学性质在生活中有着很广泛的应用。如探照灯、太阳灶、聚光灯、雷达天线、卫星天线、射电望远镜等。  

 

 

除了天文学之外,圆锥曲线也出现在微观粒子的散射问题中。一般人比较生疏的双曲线,也在计算彗星轨道时被研究。双曲线主要应用在建筑领域。

 

4,对科学的意义

 

圆锥曲线的发现和研究对光学、天文、物理、科学的发展意义重大。直到现在,圆锥曲线无论在数学以及其他科学技术领域,还是在我们的实际生活中,都占有重要的地位。

 

圆锥曲线于17-18世纪在物理学中的应用和影响,绝对超乎古希腊数学先驱们的想象,即使是现在,我觉得也很难找出一类曲线,是如此地深入到科学技术之中。

 

对圆锥曲线的研究是将几何与代数结合在一起的最早研究,早期阿基米德对抛物线下面积的计算中,就闪现着微积分的思想火花。圆锥曲线可算是几何问题与代数问题相融合的最佳范例,对它们的研究促进了坐标系的建立。笛卡尔(René Descartes15961650)和费马( Pierre Fermat1601-1665)创建的解析几何,又使得对圆锥曲线研究达到了高度的概括与统一。从解析几何,可得到圆锥曲线的方程,利用方程又便于研究圆锥曲线更多的性质,摆脱几何直观而达到抽象化的目的。

 

据我所知,古希腊对圆锥曲线的研究似乎是独一无二的。没有发现任何中国古代数学家研究过圆锥曲线,印度和阿拉伯世界对圆锥曲线的了解最早也是从古希腊传过去的。因此,圆锥曲线对科学技术的意义,再次证明古希腊数学对现代科学的贡献。

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