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微积分之前 精选

已有 6508 次阅读 2022-3-1 04:57 |个人分类:系列科普|系统分类:科普集锦

用现代的眼光来看发现微积分的历史,可以分为3个阶段:1. 极限概念,2. 积分法求体积面积,3. 发现微分积分互逆。极限概念必须先行,这点在微分或积分两个过程中是一样的。

1,微积分基本定理

通常认为最后一步(发现微分积分互逆)是被牛顿和莱布尼茨分别独立完成的,因此将发明微积分的功劳归于他们俩。但实际上从现代数学的观念来看,微分和积分作为互逆运算的本质,是被“微积分基本定理”所描述的。早在牛顿和莱布尼茨之前,对“微积分基本定理”,就已经有一个长长的研究历史。因此,为了更深入理解微分积分之间的联系,我们探索一下“微积分基本定理”发现的历史过程。从展示历史的线索,能让我们明白这个定理为何重要?以及隐藏于微积分概念背后的科学动机。

 微积分基本定理包括两个部分:第一部分表明不定积分是微分的逆运算,阐明了原函数的存在;第二部分表明定积分可以用无穷多个原函数的任意一个来计算。

 伽利略对科学的贡献无人能比。他常被人们(包括爱因斯坦)誉为是“现代科学之父”,当代物理学家霍金也说:“自然科学的诞生主要归功于伽利略。”伽利略的贡献是多方面的,这儿仅举力学方面一例:他做的落体实验证明了:物体下落的运动不是匀速运动,而是加速运动。如何在数学上来描述非匀速运动呢?这显然要涉及到如今我们熟知的“即时速度”的概念。有了微分(导数)之后,即时速度的意义不难理解,由此可知,伽利略的力学理论为微分理论的建立提出了实用意义上的“需求”。

伽利略晚景凄凉,被教会软禁在家,最后双目失明。但他直到临终前仍在从事科学研究。经常陪伴他的是他的最后的学生之一:以发明气压计而闻名的意大利物理学家、数学家托里拆利(Evangelista Torricelli, 16081647)。

托里拆利在研究伽利略的力学贡献时,意识到在抛物线上进行的两种运算(类似微分,积分)是互逆的。但他并未真正建立“微積分基本定理”。

后来,苏格兰数学家詹姆斯·格里高利(James Gregory1638年-1675年)首先发表了该定理基本形式的几何证明,牛顿的老师,艾萨克·巴罗证明了该定理的一般形式。然后才是牛顿和莱布尼茨。最后是100多年之后的法国数学家柯西(Louis Cauchy1789 1857年)将微积分理论,包括“基本定理”严格化。

当然,发明微积分最早的先驱人物,不能漏掉法国两位数学家:笛卡尔和费马。

2,笛卡尔的叶形线

有人杜撰了一个笛卡尔与瑞典公主的有关“心形线”的爱情故事,

事实上,笛卡尔与心形线无关,倒有一个以笛卡尔命名的叶形线!

网上流传的故事,说是笛卡尔为瑞典公主创造了心形线,但却相爱无缘最后笛卡尔为情而死 !从历史事实而言,笛卡尔的死的确与瑞典女王克里斯蒂娜有关,不过与爱情无关。当年,24岁的瑞典女王仰慕53岁的大哲学家笛卡尔,于是通过外交手段,请求法国政府派笛卡尔前来瑞典讲学。笛卡尔受命于政府不得不前往,但届时的他已经年老体衰,去后又操劳过度,并且与公主关系也不融洽,到了瑞典4个月后,16502月,笛卡尔就终因没有熬过瑞典的严寒得肺炎病逝了。

此外,心形线最早是由丹麦天文学家奥勒·罗默于1674在研究齿轮齿的最佳形式时发现的。那时候这位伟大的哲学家、数学家、物理学家与天文学家已去世20多年。与心形线拉不上关系。不过,笛卡尔发现研究过另外一种曲线,叫叶形线。下面我们看看心形线和叶形线这两种平面曲线。

0:心形线(点击到视频)


心形线是有一个尖点的外摆线。也就是说,一个圆沿着另一个半径相同的圆滚动时,圆上一点的轨迹就是心形线。著名的分形:曼德博集合中间的图形是心形线。

再看看什么是笛卡尔叶形线?它如下图这个模样。它可比心形线有名多了!还和笛卡尔一起被印上邮票。叶形线在直角坐标中对应于一个xy3次方程。

1:笛卡尔叶形线(点击到视频)

笛卡尔在1638 年首次提出并研究了叶形线。但尽管他在正象限中找到了正确的曲线形状,但他认为这种叶子形状在每个象限中都重复出现,就像花朵的四个花瓣一样。之后的另一位数学家罗伯瓦尔也错误地认为曲线具有茉莉花的形式。

叶形线有名倒不是因为它的形状,而是因为它涉及到微积分发展过程中一个有趣的故事。笛卡尔在1638 年研究了叶形线后,用这种他研究颇深的曲线向另一位数学家费马提出挑战。故事发生在微积分出现之前。其实也就正是在这两位伟大的数学家苦苦构思坐标轴及解析几何之时。

笛卡尔要求费马在任意点找到该曲线的切线,因为据说费马发现了一种寻找切线的方法。笛卡尔心存疑惑,认为费马肯定做不到!但最后费马很容易地解决了笛卡尔的问题,这是笛卡尔当时还无法做到的。

有了微积分之后,计算斜率再画出切线不成问题。但没有微积分时该如何做呢?微积分诞生的三个阶段:极限和求积方法在古希腊及古中国都有,但第三步是牛顿和莱布尼茨在欧洲完成的。实际上,从第2阶段到第3阶段是一个漫长的过程,

那个时代正值工业革命文艺复兴年代,不仅解放了思想,创造了自由的学术氛围,其社会生产生活还对力学、天文学等自然科学提出了巨大的挑战,而这些学科又与数学紧密相连,于是,一场关于数学学科的变革在悄然间降临到了欧洲,其间许多数学家做出了贡献。

当年费马和笛卡尔等是如何画切线的,这些方法与微积分的发现又有何关系?

3业余数学家之王费马

法国数学家费马(FermatPierre de1601-1665)是个很奇怪的学者,他是法院的法律顾问,算是个业余数学家。费马直到年近三十岁才认真研究数学,但成果累累,在数论、解析几何、概率论等方面都作出了重大贡献,因而被誉为“业余数学家之王”。他的特点是不怎么发表著作,经常是只在书的边缘处写下一些草率的注记,或者是偶然地将他的发现写信告诉他的朋友。现在看来,即使是这种草率注记中的三言两语,已经使世人震撼忙碌不已,要是费马正儿八经地专门研究数学,那还了得?例如,被称之为“费马大定理”的猜想,就困惑了数学家们整整358年!

费马对发现微积分的功劳也不小。他与笛卡尔共同创立了解析几何,成为发明微积分的根基之一。他创造了作曲线切线的方法。费马在1629年,在牛頓降生前13年,萊布尼茨降生前17年,就构想并使用了微分学的主要思想,用于求曲线的极大极小值。也就是说,在微积分尚未被系统地发明出来之时,费马就已经掌握了“令导数为零,求出极点”的方法!这个事实说明,费马几乎已经自个儿发明出了微积分,只不过没有公布而已!总之,费马淡泊名利,不在乎发表文章,也未曾将他的微分思想总结成“定理”之类的,因此,费马这方面的贡献鲜为人知。费马的许多数学思想,都是在他死后,由儿子通过整理他的笔记和批注挖掘出来的。

费马研究光学时发现,光线总是按照时间最小的路线传播。这个原理,是几何光学的基础,可以从后来的惠更斯原理推导出来。事实上,费马原理现代版的更准确表述应该是:光线总是按照时间最小、或最大、或平稳点的路线传播。换言之,光线传播的经典路径是变分为0的路径。所以事实上,有关光线传播的费马原理应该算是变分法的最早例子,但在当时,人们尚未认识到这点,也没有进行详细的理论研究。费马提出的光学 “费马原理”,给后来变分法的研究以极大的启示。

 笛卡尔的几何学发表前,费马1629年就发现了解析几何基本原理。他考虑任意曲线和它上面点M的位置用AE定出,(AE)是倾斜坐标,只是他未将另一个竖直轴明显画出来。

实际上,费马是延续了前古希腊数学家阿波罗尼奥斯的坐标系概念。阿波罗尼奥斯是除了阿基米德外最聪明的古希腊数学家,他深入研究了圆锥曲线,他的坐标体系将古希腊几何直接一口气带到一千八百多年后的微积分之前。

然后,费马将代数方法进一步与几何应用结合,笛卡尔则建立了一般方程与曲线的关系,扩展曲线的范畴,最后建立解析几何

费马对微积分的贡献,引用牛顿之言:“我从费马切线作法中得到这个方法的启示,我推广了它”

下面看看费马作切线的方法,如图中需要作P点处的切线,只要求出线段AB的值,连接AP就是切线。

AB= s,▲ABP与▲ACQ‘相似,在e很小时CQ=C Q‘,可求出AB

2:费马切线作法(点击到视频)

费马作切线方法的最后结果,与现在微积分求导数的公式相似。笛卡尔也有作切线的方法,比费马晚几年。他是先想办法在A处作曲线的法线,再作与法线垂直的线便是切线了。他的方法更复杂更是几何的。但两位大师的方法都运用极限概念,也反映出对无穷小的认识,他们都不愧是微积分的先驱。

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