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水煮“零输入响应”和“零状态响应”

已有 14849 次阅读 2014-9-26 16:40 |系统分类:教学心得|关键词:学者

 “零输入响应”和“零状态响应”是电路、信号与系统课程都要学习的一个重要知识点,但是园丁从学生作业的反馈情况看到,其实多数同学仅仅对这两个概念有简单的认识,但是对两者与微分方程初始条件的关系的认识并不深刻,今天来一起水煮这两个概念,希望通过本文,大家能对零输入响应和零状态响应有更精准的了解。

 

  首先,大家应该对微分方程的初始条件做一个深刻的理解,对于一个微分方程,0-状态表示“系统在激励信号加载之前的全部信息”,那么这些信息并不能代表加载激励信号之后的响应的初始条件,但是这些条件是不是就没有用了呢?不是的,我们可以利用冲激函数匹配的方法确定r(t)及其各阶导函数,再通过牛顿-莱布尼茨定积分公式从0-状态推导到0-状态推导到0+状态,即: $r^{(i))}(0_{+})$ - $r^{(i))}(0_{-})$ = $\int_{0-}^{0+}$ $r^{(i+1))}(t)$ dt,计算出,然后确定齐次解的系数。

 

   那么,对于同一个微分方程,零输入解、零状态解、完全解的0+状态到底会不会相等呢?答案是否定的,下面针对三种问题的0+状态做讨论:


(1)我们可以很清楚地从命名上看到,其实零状态响应的0-状态全部是零。

 

(2)零输入响应仅仅是将输入的激励信号置零,其“系统在激励信号加载之前的全部信息”是不变的。值得注意的是,零输入响应将把激励信号置零,这就意味着微分方程的自由项被强制变成零了,那么根据自由项为零的微分方程匹配出来的r(t)各阶导都变成零,因此,对于零输入响应,0-状态可以当成0+状态来用。


(3)对于完全解,0-状态是不能置零的。

     

   综上所述,对于完全解、零输入解、零状态解,其0+状态都不相同。 还需要注意的是,由于零输入响应的激励置零,就使得微分方程自由项为0,此时的零输入解的特解也就变成0。




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