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Brown运动的标度不变性分析 精选

已有 2445 次阅读 2022-5-17 09:58 |系统分类:科研笔记

今天《拓扑场论》课程(2022年5月16日)我讨论随机过程的重整化(参考KPZ方程, 1986年; 以及Kardar的场论教材第九章,Dissipative dynamics)。这里总结Brown运动的标度变换不变性。在统计力学教材中,一般不会讨论这个问题。

标度分析是研究量子场论重整化(RG)第一步,我们可以从标度分析中看出哪些项是relevant(相关的)的,哪些是irrelevant(不相关)的,哪些又是在边界(marginal)的。这些分析表明,阻力项是irrelavant的,但是随机项是marginal的。本文的重点是Brown运动标度分析的物理意义,即为什么它是这样的。这些分析可以推广到KPZ等方程中,在这里,中国科学家张翼成(1976年-1980年 中国科技大学、物理系)以及涂豫海(1983 - 1987年中国科学技术大学少年班,  2020年美国物理协会Onsager奖获得者)做出了杰出工作。这个方面的开创者包括马上庚,他写了RG方面的第一篇Rev. Mod. Phys. 文章,其《临界现象的现代理论》是这个领域的名著。

我们考虑模型 \begin{equation} {d x(t) \over dt} = -\mu x(t) + \eta(t). \end{equation} 假设两个不同的坐标系,$t$和$t'$,它们有相同的运动方程,但是参数可能不同。在$t'$坐标中,它对应$x'(t')$, $\eta'(t')$, $\mu'$等参数,所以 \begin{equation} {d x'(t') \over dt'} = -\mu' x'(t') + \eta'(t'). \end{equation}

考虑下面的标度变换

\begin{equation} t' = bt, \quad x'(t') = x'(bt) = b^\chi x(t), \quad \eta'(t') = \eta'(bt) = b^\tau \eta(t). \end{equation}

对随机数,它给出如下变换规律

\begin{equation} \langle  \eta'(t_1') \eta'(t_2') \rangle = 2D' \delta(t_1' - t_2') = 2D' b^{-1} \delta(t_1- t_2).\end{equation}

这个结果有另外一种计算方法。利用$\eta'(t') = \eta'(bt) = b^\tau \eta(t)$, 可以得到

\begin{equation} \langle  \eta'(t_1') \eta'(t_2') \rangle = b^{2\tau} 2D \delta(t_1 -t_2). \end{equation}

它实际上是同一个表达式在不同计算过程而已,它们必须相等,所以有下面的等式

\begin{equation} D b^{2\tau} = D' b^{-1}, \quad D b^{2\tau+1} = D'. \end{equation}

让$D' = D$,即扩散系数标度不变,有

\begin{equation} 2\tau +1 =0, \quad \tau = -{1\over 2}. \end{equation}

我们将这个结果代入Brown运动中,得到

\begin{equation} b^{\chi -1} {dx \over dt} = -\mu' b^{\chi} x + b^{\tau} \eta. \end{equation}

比较两边的结果,可以看到,如果我们让这个等式回到原来的表达式,即让Bronw运动公式标度

不变,那么要求

\begin{equation} \mu' b = \mu, \quad b^{1-\chi + \tau} = 1.\end{equation}

这个结果要求

\begin{equation} \chi = {1\over 2}. \end{equation}

这个结果有简单的解释。为此,从下面的中心极限定理出发,假设$\mu = 0$,所以有

\begin{equation}\langle x(t)^2\rangle =2Dt, \quad \langle x'(t')^2\rangle =2D t' = 2D bt. \end{equation}

可以看出来,如果让它们相同,则

\begin{equation} b^{2\chi} = b, \quad \chi = {1\over 2}. \end{equation}

所以$\chi =1/2$是中心极限定理的要求。


下面讨论$\mu$在变换下的标度变化关系,我们有

\begin{equation} \mu' = \mu(b) = {\mu \over b}. \end{equation}

考虑到标度变化的意义,如果$b > 1$, 即在一个更大的尺度上观察参数的变化,我们看到,随着$b$增大, $\mu(b)$会越来越小。这个结果也有明确的意义。如果我们计算Brown运动的解,可以得到

\begin{equation} x(t) = x_0 (e^{-\mu t} + \int_0^t e^{-\mu(t-t')} \eta(t') dt'). \end{equation}

从长时间来看,第一项会越来越不重要。这是因为在长时间下,粒子已经趋于热平衡,这个平衡给出一个等效温度---只有平衡才能定义问度,才能计算配分函数等。这个极限下,$\mu$的贡献会给出爱因斯坦涨落-耗散关系,即

\begin{equation} D = k_B T \mu. \end{equation}

从长时间来看,这个系数趋于零,即

\begin{equation} \lim_{b\rightarrow \infty} \mu(b) \rightarrow 0. \end{equation}

从涨落耗散公式,它对应高温情况(因为$D$不变)。这是它在RG 的流动(Flow)过程,在Ising模型中,也有类似结论。对于Ising模型,在RG下温度会越来越高,从而趋于高温极限。从长时间角度,$\mu$无关(irrelevant)的,它也是物理图像上的必然结果。


应用:这个方法可以用于研究很多无序问题的标度行为,包括KPZ方程和Edwards-Wilkinson(EW)方程等。EW是一个线性方程,可以认为是动量空间的Brown运动。它也可以用于研究Navier-Stokes等非线性方程(见涂豫海等人1998年的工作 --- 这是KPZ方程10年以后的重要进展)。在KPZ的原始论文中,作者讨论了KPZ方程和Navier-Stokes方程的关联。如果考虑非线性系数,则需要用微扰方法求解,即

\begin{equation} \phi(k, t) = \phi_0(k, t) + \lambda \phi_1(k, t) + \cdots. \end{equation}

理解Brown运动的本质,是理解上面的这些应用的关键---等我上完课后,我会仔细讨论。

需要强调的是,在非线性微分方程中,我们也可以用类似的微扰方法求解,此时不一定要有随机项。最著名、最经典的例子为下面的Rayleigh(瑞利)非线性微分方程

\begin{equation} \ddot{x} + x + \epsilon x^3 = 0, \quad \epsilon \sim 0. \end{equation}

第二个例子为马丢(Mathieu)方程

\begin{equation} \ddot{y} + (a + 2\epsilon \cos(t)) y=0. \end{equation} 如果利用微扰展开到高阶,它的解会越来越发散。这是RG的典型结果,必须要用发散的系数来补偿、抵消这个发散。

启发: 在学习场论的时候,一定要建立对这些过程的直觉上的理解---否则,场论的复杂的计算过程,就是一堆没有意义的、冷冰的公式而已。 在上课的时候,我会努力介绍这些基本图像。这个结论应该对所有学科都是成立的。在学习中,我们可以学会和理解的,一定是那些可以感知的东西,  即对这些知识,我们有直观上的理解(和共鸣)。


2021年8月14日初稿、2022年5月16日修改。


ss3.png

(来自Dynamic scaling of growing interfaces: The Kardar–Parisi–Zhang equation, 作者Amaresh Sahu, U.  Berkley)

sx2.jpeg

(图片来自网络: Brown运动)

sqq.png

(爱因斯坦的涨落耗散关系$D = k_B T\mu$,资料来自网络)


a2.png

(分数维E-W模型的标度分析,来自已经发表的论文,2012年)



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1 刘全慧

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