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重整化的必要性:以二维$delta$-势模型的束缚态为例

已有 3448 次阅读 2022-5-22 20:43 |系统分类:科研笔记

这篇文章提供一个具体的例子,说明重整化(Renormalization)是一个普遍现象,即便在单粒子量子力学中,它也是必要的。重整化离我们并不遥远,只是因为它无法很好定义(ill-defined),所以在学习中被我们刻意忽视了而已。


学习物理的人都有这样的感觉,重整化(Renormalization)和重整化群(Renormalization group)主要用在场论和粒子物理中,和一般的物理研究相差甚远,所以我们根本不用学它---也不会好好学。随便找一本场论的书就会看到,它们一般处理量子电动力学和色动力学等高能粒子物理问题,和凝聚态物理、量子力学、半导体物理、生物物理等非常遥远---或者完全无关。这似乎是一种根深蒂固的观念。

这里介绍一篇文章(见下图),即二维$\delta$-势的束缚态问题。一维$\delta$-势问题是量子力学教材中的经典问题,其结论也明确,对吸引势 $\lambda \delta(x)$ ($\lambda < 0$), 它有唯一的束缚态。这个问题经常被作为量子力学的习题、考题以及研究生的面试题等。如果推广到二维,就没有束缚态了。这一点可以很容易证明。假设束缚态态波函数为\begin{equation}\psi({\bf r}) = \psi(0) e^{-r/\xi}, \quad r=|{\bf r}|.\end{equation} 势能为$\lambda |\psi(0)|^2$,利用归一化条件有

\begin{equation} \psi(0) \propto \xi^{-3/2}. \end{equation}因为波函数束缚在一定的区域内,动能为\begin{equation} T \propto 1/\xi^2. \end{equation} 这样,我们总可以把基态能量写 \begin{equation} E_g = a /\xi^2 + \lambda b \xi^{-3}. \end{equation} 这里$a$, $b$为正系数。如果$\lambda < 0$, 这个模型是没有基态的。所以,在教材中,二维$\delta$-势模型是一个没有很好定义的(ill-defined)或者非物理的模型,一般忽略不计。


真的如此吗? 


这种的处理简单粗暴,但是很普遍。当面对发散的时候,我们会认为它无解。在历史上,这样的事情经常发生。比如方程$x^2 = -4$,我们就认为它无解。这个想法可能追溯到丢番图,他就认为负根不存在,所以直接抛弃。对于虚数,数学家也是经过了很长时间的思考,而最终认识到它的必要性;否则也不叫虚数(从其英文名字就可以看出来,它是假想的数字$i = \sqrt{-1}$)。在量子场论的发展过程中,曾经有一段时间(大概20年左右),大家开始怀疑微扰理论是否成立,是否需要抛弃。这是因为在量子电动力学中,任何微扰计算都会导致发散。这些发散自然而言预示着这个理论的失效(或失败)。这是重整化思想伟大的地方。

对于二维模型,这个计算非常简单,我们给出一些计算的细节。假设波函数为\begin{equation} \psi(x) = \sum_{\bf k} e^{i {\bf k}\cdot {\bf r}} \psi_{\bf k}.\end{equation} 代入薛定谔方程中,就可以得到\begin{equation} (E - {\hbar^2 k^2 \over 2m})\psi_{\bf k} = \lambda \sum_{\bf q} \psi_{\bf k-q} = \lambda \psi(0), \quad 1 = \sum_{{\bf k}}  {\lambda \over E - {\hbar^2 k^2 \over 2m}}. \end{equation}这个显而易见,这个积分是发散的。如果假设${\bf k}$有一个能量截断, $|{\bf k}| < \Lambda$, 积分是有限的,可以得到 \begin{equation} 1 = -{\lambda \over 4 a \pi}  \ln(a\Lambda^2/|E|). \end{equation} 这个表达式中,我们定义$a = \hbar^2/(2m)$。这个表达式给出

\begin{equation} E = -{\hbar^2 \Lambda^2 \over 2m} \exp({2\pi \hbar^2 \over m \lambda}). \end{equation}现在,哈密顿是求解了,束缚态能量也得到了,但是困惑来了。$\Lambda$的选取是任意的,那么这个束缚态能量也是任意的,所以这个结果看起来是毫无意义的。

问题的关键在于,如果我们假设一个最大的能标$\Lambda$, 那么将不能分辨尺寸$\delta r < 1/\Lambda$区域的物理。这样我们所谓$\delta$-势,其实是非物理的。这个势,要求位置$x$可以无限趋于$x = 0$。因此,在上课的时候,我会用电子之间的库仑相互作用做类比。在实验上,我们的确验证了电子之间的库仑相互作用满足$1/r$反比例关系。可是这是在较大尺度上做的实验。我们没有理由认为这个结果对任意的距离都是成立的。目前的实验的确精度不断提高,但是也没有在$r\rightarrow 0$的极限证明它成立。这其实是一个简单的逻辑问题,即我们不能把一定条件下得到的科学定律无限推广到其它极限。

重整化的一个妙不可言的地方是意识到,相互作用强度(或耦合系数)和$\Lambda$有关。这个可以理解为,我们用一个粗糙的探测器测量到的$\lambda$,和我们用高精度的探测器测量到的$\lambda$是肯定不同的。这个不同是显而易见的。 可能有人认为是误差导致的,其实不是,而是有重要/深刻物理原因。如果我们假设$\lambda$和$\Lambda$有关,那么我们可以让$E_g$的能量不随$\Lambda$而改变

\begin{equation} E_g = -{\hbar^2 \Lambda^2 \over 2m} \exp({2\pi \hbar^2 \over m \lambda})= -{\hbar^2 (\Lambda+d\Lambda)^2 \over 2m} \exp({2\pi \hbar^2 \over m (\lambda + d \lambda)})\end{equation}

这样我们得到

\begin{equation} \beta = {d\lambda \over d\ln \Lambda} = {\lambda^2 m \over \hbar^2\pi}. \end{equation}

这个结果是显而易见的。随着$\Lambda$增大,固定$E_g$不变,则$|\lambda|$必须减小。为此,我们考虑下面的方程\begin{equation} 1^2 e^{-0.5/0.2} = 10^2 e^{-0.5/x}, \quad x = 0.0703713. \end{equation}可以看出, 随着$\Lambda = 1$变到10,  $\lambda$由-0.2增加到-0.0703713。这样$\beta$函数大于零,它预着$\lambda$随着能标截断$\Lambda$增大而增大。

重整化的一个重要思想,这是场论的革命性变革,即想明白了一个问题: 耦合常数和能标是有关的。但是我们的测量的结果和能标无关(或者无明显关系)。那么对于任何测量量

\begin{equation} m = m(\Lambda, g_\Lambda). \end{equation}

它和$\Lambda$无关,则通过$dm = 0$可以得到Callman-Symanzik方程。在教材中,这个$m$可以是传播子。我们有\begin{equation} {\partial m \over \partial \Lambda} d\Lambda + {\partial m \over \partial g} {dg \over d\Lambda}  d\Lambda = 0. \end{equation}定义$\beta(g) = dg/d\ln \Lambda$, 则可以看出,如果有多个变量,它们的$\beta$函数不是完全独立的。可见重整化方法将相互作用认为是和截断有关的参数,解决了场论中的发散问题。但是这个简单的想法,却在很长时间内都没有被人想明白。相反,在历史上,量子场论差点就被物理学家抛弃了。

科学的突破,往往是一个观念上的变革。哥白尼认为地球围绕太阳转、爱因斯坦提出相对性原理、德布罗意从相对论中看到物质和波的统一等。啊哈,灵机一动,换个角度看问题,问题就不同。所以,我们碰到某些某些难一理解的困难,是否应好好反思,也许它的确是困难,但也许它本来就应该如此呢?


:下面的问题我不讨论:第一、三维$\delta$势的重整化(处理方法类似);第二、不同正规化(消除发散的方法)对最终结果无影响;第三、Dirac方程的束缚态问题; 第四、2D和3D的$\delta$-势Kronig-Penny模型的解。上面的结果也可以从标度上理解。我们发现$\lambda$和$\hbar^2/2m$有相同的量纲,所以靠这两个参数无法构成$E_g$的能量量纲,而是需要引入动量截断$\Lambda$。本文重点是讨论量子力学中重整化的重要性和必要性,所以这些细节就不再讨论了。

我有一个建议,希望老师们在量子力学(初等)中也讨论这个问题,并讨论重整化的必要性。这个概念蛮有趣。如果可以,老师们还可以讨论Casimir力,它是真空能导致的平行板的吸引相互作用,并在发散中给出有限观测量。

在课程《量子场论》中,这篇文章是我第一节课的参考文献。Am. J. Phys. 杂志上有很多类似的论文,它们很简单,但是非常清晰地阐述了很多关键的概念。建议上课的老师多参考。历史蛮有趣,科学家往往是从复杂的模型中看到了一些简单、漂亮的东西,但后来发现它们可以从更加简单的模型中得到证明和阐释。想明白的时候,我们发现它就在我们身边。这个感悟是有理由的,比如很多人从不同的角度发现了涨落-耗散定理,其实它就是中心极限定理嘛。格林函数中的Wick收缩、Feynman图等,本质上就是累积量展开嘛。


2020年,2022年春季学期我在《拓扑场论II》课程中都介绍了这个模型和这篇论文,2020年总结,2022年4月整理完成。这篇文章是我见到的对重整化理论最简单、最直观的描述。这个杂志有多篇论文讨论这个话题。每次讲重整化理论,我都有一种“暮然回首,答案就在问题中”的感觉。



2delta.png

(参考文献:二维$\delta$势中的束缚态问题和重整化过程)


2k.png

(参考文献:二维和三维Kronig-Penny势问题)



https://m.sciencenet.cn/blog-709494-1339718.html

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