平时有空，我会看看一些数学竞赛题。数学竞赛题充满了各种构造的技巧，这是很多科学研究所缺失的。这是另外一种脑力娱乐。今天介绍两道竞赛题的解法，我把它写出来，是因为这个证明比书里的证明要更简单、直观。这些模型，如果加以适当改造，是否可以成为很好的物理问题呢？

第一题： 已知$A_i$ ($i=1, .., N$)为$N$各点，按照顺序排成一条线，每个点染上红色或蓝色之一，如果线条$A_i A_{i+1}$的两个端点颜色不同，我们称它为标准线段。已知$A_1$和$A_N$颜色不同，证明标准线段条数为奇数。

证明：取红点值 $x_i = 0$，蓝点 $x_i = 1$。标准线段条数为（求和为$i=1 - (N-1)$） \begin{equation}K = \sum_i (x_i - x_{i+1})^2. \end{equation} 这样，我们有\begin{equation} K = x_1^2 + 2x_2^2 + \cdots + 2x_{N-1}^2 + x_N^2 - 2 x_1 x_2 - 2x_2 x_3 - \cdots -2 x_{N-1} x_N. \end{equation} 如果$x_1^2 + x_{N+1}^2 =1$，那么$K$为奇数；否则为偶数。QED

第二题： $N$各男生女生围成一个圈，规定相邻作为为同性时，在它们之间放一多红花，否则放一朵蓝花。结果发现红花和蓝花数目一样多。证明$N$为$4$的倍数。

证明： 同上面的做法，取男生为 $x_i = 0$, 女生为 $x_i=1$，同时假设$x_{N+1} = x_1$（周期边界条件）。 同性之间插红花，有（求和为$i=1 - N$） \begin{equation} K_R = \sum_i 1 - (x_i - x_{i+1})^2=N -\sum_i(x_i - x_{i+1})^2 . \end{equation} 异性之间插蓝花，有\begin{equation} K_B = \sum_i (x_i - x_{i+1})^2. \end{equation} 这两个值相等给出 \begin{equation} N = \sum_i 1 =2 \sum_{i} (x_1 - x_{i+1})^2. \end{equation} 利用下面关系\begin{equation} \sum_{i} (x_1 - x_{i+1})^2 = 2\sum_{i} x_i^2 - x_i x_{i+1} \in 2\mathbb{Z}, \end{equation} 因此，$4|N$，同时我们给出了这个倍数的表达式。QED

2021年3月完成证明，用时10分钟； 2022年6月15日完稿，发表。第二个问题，如假设有$K$个男生和$N-K$个女生，且$4|N$，问有多少排列，让红花和蓝花一样多，就难多了。我们只能做数值模拟来检验这个结果了，但也许它有简单的物理图想。