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用赋值法证明两道数学竞赛题

已有 1424 次阅读 2022-6-15 10:05 |系统分类:科普集锦

平时有空,我会看看一些数学竞赛题。数学竞赛题充满了各种构造的技巧,这是很多科学研究所缺失的。这是另外一种脑力娱乐。今天介绍两道竞赛题的解法,我把它写出来,是因为这个证明比书里的证明要更简单、直观。这些模型,如果加以适当改造,是否可以成为很好的物理问题呢?

第一题: 已知$A_i$ ($i=1, .., N$)为$N$各点,按照顺序排成一条线,每个点染上红色或蓝色之一,如果线条$A_i A_{i+1}$的两个端点颜色不同,我们称它为标准线段。已知$A_1$和$A_N$颜色不同,证明标准线段条数为奇数。

证明:取红点值 $x_i = 0$,蓝点 $x_i = 1$。标准线段条数为(求和为$i=1 - (N-1)$) \begin{equation}K = \sum_i (x_i - x_{i+1})^2. \end{equation} 这样,我们有\begin{equation} K = x_1^2 + 2x_2^2 + \cdots + 2x_{N-1}^2 + x_N^2 - 2 x_1 x_2 - 2x_2 x_3 - \cdots -2 x_{N-1} x_N. \end{equation} 如果$x_1^2 + x_{N+1}^2 =1$,那么$K$为奇数;否则为偶数。QED

第二题: $N$各男生女生围成一个圈,规定相邻作为为同性时,在它们之间放一多红花,否则放一朵蓝花。结果发现红花和蓝花数目一样多。证明$N$为$4$的倍数。

证明: 同上面的做法,取男生为 $x_i = 0$, 女生为 $x_i=1$,同时假设$x_{N+1} = x_1$(周期边界条件)。 同性之间插红花,有(求和为$i=1 - N$) \begin{equation} K_R = \sum_i 1 - (x_i - x_{i+1})^2=N -\sum_i(x_i - x_{i+1})^2 . \end{equation} 异性之间插蓝花,有\begin{equation} K_B = \sum_i (x_i - x_{i+1})^2. \end{equation} 这两个值相等给出 \begin{equation} N = \sum_i 1 =2 \sum_{i} (x_1 - x_{i+1})^2. \end{equation} 利用下面关系\begin{equation} \sum_{i} (x_1 - x_{i+1})^2 = 2\sum_{i} x_i^2 - x_i x_{i+1} \in 2\mathbb{Z}, \end{equation} 因此,$4|N$,同时我们给出了这个倍数的表达式。QED

2021年3月完成证明,用时10分钟; 2022年6月15日完稿,发表。第二个问题,如假设有$K$个男生和$N-K$个女生,且$4|N$,问有多少排列,让红花和蓝花一样多,就难多了。我们只能做数值模拟来检验这个结果了,但也许它有简单的物理图想。



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1 王安良

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