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关于Sine-Gordon模型相变的一个简单图像 精选

已有 5587 次阅读 2023-3-27 11:18 |系统分类:科研笔记

关于Sine-Gordon模型相变的一个简单图像

龚明,中国科学技术大学

Sine-Gordon(SG)模型是19世纪在数学上发现的一个重要的偏微分方程,它有孤立子解。孤立子有一定的能量,可以看作有质量的准粒子。同时,这个方程有相对论不变性。这个准粒子的质量和速度之间满足$m = m_0/\sqrt{1-v^2/c^2}$的关系,也就是相对论质量关系。在物理中,SG模型会存在相变,它会从无能隙(gapless)相变成有能隙(gapped)相。它是低维系统中最重要的一个场论模型,很多一维系统的有效理论最终都会变成SG模型; 比如XXZ模型、一维超导/超流模型等,它对应的是Luttinger液体。所以对它的理解就显得非常重要了---这是上个世纪70年代在量子场论方面的重要进展。但是一般教材都用到复杂的重整化群(RG)分析,又复杂又难懂。本文提供一个直观的图像 --- 我相信很多研究者也是这样理解的,尽管不一定在教材和文献中有直接讨论。从这个角度,这个模型的相变会变得非常简单。

我们从SG模型出发,它可以写成\begin{equation*} S = \int \mathcal{L} dxdt, \quad \mathcal{L} = {K \over 2} (\partial \phi)^2 + g \cos(\phi). \end{equation*}这里$K$为Luttinger参数,它是无量纲的,$g$为耦合常数。这个作用量可以用来计算配分函数,其中第一项对应高斯涨落。所以如果$K$很大,则高斯涨落会很小,这样涨落就局限在$\phi = 2\pi n$附近的很小的范围内。假设我们只关注在$\phi \sim 0$附近的振动,那么这个有效拉格朗日为\begin{equation*}\mathcal{L}={K \over 2} (\partial \phi)^2 -{g \over 2} \phi^2.\end{equation*}这就是著名的Klein-Gordon相对论方程,$g$的作用和质量$m$一样。可见耦合系数$g$引入一个能隙,这个模型是有能隙的,对应有能隙的相。这个时候,无论$g$多大,都会打开一个能隙,此时我们说$g$是相关的(relevant)。进一步,我们计算平均值就会发现,$\langle \cos(\phi)\rangle \ne 0$。

另一个极限,假设$K$很小,那么涨落在很大范围内都是允许的。这时,$\cos(\phi)$会遍历所有可能的值,我们可以期待\begin{equation*}\langle \cos(\phi)\rangle =0. \end{equation*}此时,无论$g$是多大,这个平均值都是等于零的。我们说,在这个相,$g$是无关的(irrelevant),它对应无能隙相。

因此,基于这个简单的图像,我们可以看出,SG模型在某个特殊点$K_c$存在相变,它会从一个有能隙(gapped)相变成无能隙(gapless)相。对于更复杂的模型,比如有很多个场的耦合的情况,也可以用类似的方式讨论。可以看出来,在绝大部分模型中,Luttinger参数$K$对相变起到了关键作用。我们甚至可以认为,$\langle \cos(\phi)\rangle$起到了序参量的作用。如果我们将这些结果拼凑在一起,可以得到下面的RG流方程\begin{equation*}{dg \over dl} = A (K-K_c) g, \end{equation*}其中$A > 0$。它说明,如果$K > K_c$, $g$会越来越大(relevant);否则,它会越来越小(irrelevant)。因为本文的目的是介绍SG模型相变的整体图像,所以就不讨论参数$A$和$K_c$的具体值。但我们可估计$K_c$的值。利用相位的涨落的宽度为$\langle \phi^2\rangle = 1/K^2$,  设它和$\pi$差不多,则对应过渡到无能隙相,所以$1/K_c \sim \pi$,即$K_c \sim 1/\pi$。读者可以在很多教材中可以找到它们的具体值。

sgrg.png

SG模型的RG流,图片来自网络

补充:关于SG模型的孤立子质量问题。考虑微分方程$\psi_{tt} - \psi_{xx} - g \sin(\psi) = 0$, 它的解为\begin{equation*}\psi = 4\arctan(\exp(a(x - vt))). \end{equation*}它是这个方程的解,可以确定$a = \sqrt{g/(1-v^2)}$。我们可以计算它的能量,扣除掉一个无关的背景,我们有\begin{equation*} E =\int  \psi_t^2/2 + \psi_x^2/2 + g \cos(\psi) dx = \text{background energy }+ {8\sqrt{g} v^2 \over \sqrt{1-v^2}} \sim mv^2.\end{equation*}具体计算见下面的代码。可见,这个结论和相对论方程几乎一样。这个问题曾经作为计算物理考试题,没有一个人做出来。后来有人告诉我,在孤立子教材中,这个结论广为人知。

sg3.png

我的Mathematica计算代码

:2022年春季,第二次讲这个模型的时候,我采用了这个图像。相比之下,2020年第一次就没有讲得那么清晰。



https://m.sciencenet.cn/blog-709494-1381975.html

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