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物理自编习题(16)

已有 3055 次阅读 2013-5-25 08:03 |系统分类:科研笔记|关键词:学者| 物理学习题, 不扩散波包

  1. 根据最新的物理研究进展, 我将把物理中的一些重要研究内容建华并编写成物理习题. 有兴趣的老师可以把它推荐给你们的学生. 这些习题基于书本知识,但是略高于书本知识, 所以可以大大促进学生对物理学的兴趣.

  2. 我做这个工作,只希望证明, 物理学前沿并没有那么高深莫测.因此我放弃这些习题的版权,任何人可以传播,出版,修改这里的习题. 如果您出版了我的习题,请在书本中感谢我的努力就可以了.  

  3. 我不提供习题的答案,但是提供习题的解题思路,以及习题的背景, 有些时候会提供部分有价值的参考文献.      

                                                                              龚明

题目

1.  在自由空间,Airy波包在Schrodinger方程下是不扩散的。

2.  对于Dirac方程,任何波包都是不扩散的。

提示: Airy波包为$\psi(x, t = 0) = Ai(Bx/\hbar^{2/3})$, B为任何一个常熟。证明 $\psi(x, t) = e^{-i{p^2 \over 2m}t} = Ai(B/\hbar^{2/3}(x-B^3t^2/2m^2)) e^{i\theta(t)}$, 所以,$|\psi|$波形不变,只是有一个简单平移。

对于Dirac方程,那就更简单了,这里不再提示。

题目意义:  不是所有非本征态波包都会扩散。很多波包会展现很丰富的奇特性质和漂亮图案(见下图),这里只是一个极端情况的例子而已。

补充一下:非线性方程中也有类似的不扩散的波函数,比如孤立子。孤立子的不扩散和它的非线性相互作用有很大关系,但是在我们这里,没有这样的非线性,所以是另外完全不同的机制让波包不扩散。

参考文献Nonspreading wave packets

M V Berry, NL Balazs - American Journal of Physics, 1979

我的猜测: 可能所有的哈密頓都有类似不扩散波包。我没有证明这个结论。从Berry等人的解释来看,应该所有的哈密顿都有这样的波包。





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1 王伟华

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