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Zmn-0751 薛问天：在数学和逻辑认识上的三大错误，评李鸿仪先生在《0738》文后的跟帖
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Zmn-0751 薛问天：在数学和逻辑认识上三大错误，评李鸿仪先生在《0738》文后的跟帖
【编者按。下面是薛问天先生的文章，是的对李鸿仪先生在《0738》文后的跟帖的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
在数学和逻辑认识上的三大错误，
评李鸿仪先生在《0738》文后的跟帖
薛问天
1，李鸿仪的第一个错误，用改变【可列】的含义，来否定【可列完】。
现在看得越来越清楚了，李鸿仪先生质疑康托尔定理证明的方法是用改变【可列】的含义，来否定【可列完】。
因为按照正常的数学定义，可列就是可数。说一个集合是可列的，它的含义就是指此集合可以同自然数集合建立一一对应。集合的每个元素都有一个自然数作编号，从而此集合的元素就可排列成一个无穷序列。既然是集合中的每个元素都有编号，当然是全部元素都在序列之中。也就是说此序列是把集合的元素全部列完了。而且这点在数学上是严格说清楚的。什么是一一对应，一一对应就是双射。什么是双射，双射就是无重复无遗漏的映射。无重复无遗漏，这当然是全部列完了的严格陈述和根据。也就是说，在可列的含义在正常的数学的解释下，集合是【可列的】，就是【可列完】的，就是可被序列列完。按数学的正常定义，集合可列，就是集合可以排成以自然数编号的序列，集合的全部元素都在序列之中。当然是可被序列列完的，即序列包含了集合的全部元素。
李鸿仪先生说【所谓可列完，其实再简单不过了，就是一个不拉地把所有所有数都列出来，】
什么叫【列出来】，如果可列指的是可以无重复无遗漏地包含在序列之中，那么集合是可列(可数)的，就是集合的全部元素都可包含在序列之中。因而可列就是可列完。
李先生说【可列定义只能保证可以一一列出部分实数，但却永远不可能把所有的实数都一一列出。】
李先生这段话是完全错误的。双射就是无重复无遗漏的映射。无重复无遗漏，这当然是全部列完了的严格陈述和根据。说什么【可列定义只能保证可以一一列出部分实数】，【永远不可能把所有的实数都一一列出】，这同可列所定义的无重复无遣漏地包含在序列中完全不符。
李先生说【薛先生说实数集合可以由以自然数作标号的无穷序列全部包含，因而【可全部列完】。全部包含=可全部列完？包含和我所定义的列出有什么关系啊？不可以包含而不列出吗？偷换概念！[6]】
在对可列的正式数学定义下，实数可列就是全部包含在序列之中，可列就是可列完。这当然同你定义的【可列】含义无关，只有你另外定义了可列的含义后，才出现了不可列完的问题。李先生不是也说【我的列出（list）和列完（list cpmpletely）和数学上的可列即可数（）一点关系都没有，完全是一个新的概念，】当然，我们讲的可列即可列完，同你讲的可列而不可列完没有关系。
李鸿仪先生说【一个不拉地把所有所有数都列出来，显然，这是做不到的，】刚才已经讲清楚了，在对可列的正常数学理解下，集合可列就是无重复无遗漓的可列完，是做到了。只有在把【列出来】做了另外的解释后才能使做不到成立。李先生说【这里，所谓列出，是指在纸上，计算机的屏幕或内存中，或人的脑海中，给出某一个实数的具体数值（例如3.14159......）或其符号（例如π）的过程。】当然你要把集合的全部元素的具体表示，都写在纸上或存在电脑人脑中，这是不可能的。关键是数学上的可列不是这样定义的。康托尔定理的证明也不是这样定义可列的。
在正常的数学对可列的理解下，假定实数可列，就是可列完，全部自然数当然都无重复无遗漏地包含在在以自然数为标号的序列中。
因而在正常的数学对可列的理解下，李先生的命题2和3都是错的。尽管命题1是正确的，但对康托定理的证明的质疑不成立。
李先生说【我的命题都是根据我的定义自成体系的，薛先生要评论我的命题，首先必须根据我的定义来进行，看其对错，否则就是瞎胡闹。】
实际上我们正是如此作的。我们还用(李)作为标记来评价你的命题。尽管按照李先生对可列的理解，命题2(李)和命题3(李)成立，但命题1(李)是错的，所以对康托尔证明的质疑仍然不成立。
说命题1(李)是错误的，理由也很简单。因为用对角线法找出的那个实数b，只要证明它不在由以自然数作标号的无穷序列中出现，即可产生矛盾。因为所有的实数已假定全部组成以自然数作标号的无穷序列。也就是说，在证明中产生矛盾，并没有要求所有实数要全部呈现在你面前，或所有实数能【在纸上，计算机的屏幕或内存中，或人的脑海中，】全部给出。所以说命题1(李)是错误的。
李鸿仪的错误在于用改变【可列】的含义，来否定可以【可列完】。但是用这种方法，对康托尔定理证明的质疑并不成立。
.说命题1(李)是错误的，这个刚刚讲的道理，我上次就讲清楚了。可李先生却说【为什么是错的，显然没有讲，恐怕也讲不出，除非他能具体指出[3]里面详细证明中的错误。】那好吧，我们下面再讲讲[3]的错误。
2，李鸿仪的第二个错误是，不懂得也不承认证明「对所有都成立」的逻辑推理规律。
我们知道，逻辑推理只允许有穷步。那么对于无穷集中的无穷个元素，如何进行其元素「对所有都成立」的命题的证明呢？我们当然不可能一个一个元素拿出来证明，这样就不可能在有穷步之内证明此命题「对所有都成立」。那么是否人们就无法进行无穷集性质的证明了呢？当然不是。人类很聰明，建立了逻辑推理系统(称为命题逻辑和谓词逻辑)，有一套行之有效的逻辑推理规则，可以进行这种推理。其中有一条「对所有都成立」的推理规则。这个规则说，如果对集合中任意元素通过推理得出了结论，则可以证明此结论对集合所有元素皆成立。康托尔定理证明b不等于序列中的所有实数，就是用这样的逻辑推理规律证明的。证明对于序列中任意的ai，b的第i位bi不等于ai的第i位aii，即bi≠aii。从而b不等于ai，所以证明了序列中的全部实数都不等于b，即推出了b不在序列中的结论。
在逻辑学中，有这样的规则，称为∀+规则。具体说是
如果Σ⺊A(u)，而且u不在Σ中出现，则Σ⺊(∀x)A(x)。
然而李鸿仪先生不懂得，也不承认这种「对所有都成立」的推理方法，而是要去一个一个地推导，当然不能完成。李鸿仪是这样说的。
【如果我们只列出了一个实数，则只要b的第一位小数与该实数的第一位小数不同，即可保证b不同于这个实数，但不能保证b不同于其他还没有列出来的实数；如果我们列出了2个实数，则还要使b的第2位小数与所列出的第二个实数的第2位小数不同，才可保证b不同于列出来的2个实数，但不能保证b不同于其他还没有列出来的实数......如果我们列出了n个实数，则还要b的第n位小数与所列出的第n个实数的第n位小数不同，才可保证b不同于列出来的n个实数，但不能保证b不同于其他还没有列出来的实数......由此可见，只要还存在着没有列出来的实数，即我们没有把所有的实数都列出，就不能保证b不同于所有的实数，命题1得证】
可以㸔出在李鸿先生允许的证明中，必须对实数一个一个地证明，但实数的个数是无穷的，而证明的步骡是有穷的，用这样的方法根本就不可能证明b不等于序列中的全部实数。
李先生说【可能薛先生会说，没有列出来也没关系啊，只要我一直列下去，一直列到底，不就行了？问题在于，有底吗？】
所以说从这里可以看出，李鸿仪先生根本不知道如何证明无穷集合。不懂得也不承认人类文明智慧创建的逻辑推理规则，在这种推理规则中，根本不需要什么一一列出和一直列到底。而是从对任意元素通过推理得出的结论，就直接证明了「对所有都成立」。
不懂得不承认相关的推理规则，这是李先生的第二个重大错误。
3，李先生的第三个错误是对数学的逻辑缜密性缺乏足够的认识。
我们知道，数学对逻辑的缜密性有较高的要求。数学中除少量原始概念外，所有的概念都必须有严格的数学定义。而原始概念必须出现在公理中，受公理的制约。而定义中只能应用已定义的概念和原始概念，不能应用未曾定义的概念去定义其它概念。数学中承认的命题必须是公理，或得到严格的证明的定理，而不承认未加证明的命题。
李鸿仪先生对此并不认同。他说【这种所谓的严格，难道不令人啼笑皆非吗？】又说【有一句话说，人类一思考，上帝就笑了。这句话用在某些场合，也是成立的：搞数学的一说严格，搞热力学的就笑了。这么说一定很伤数学家们的自尊心，然而事实就是这样。】
李鸿仪先生认为有些数学命题根本得不到证明。他说【例如，薛在zmn0742说无穷序列在结束完成时，并不一定有这个「完成的标记」。元素不再增加的集合，有穷集合有「最后一个元素」，无穷集合则不一定有。但他并没有给出证明.。】
其实这些道理在数学中都可以得到严格的证明。无穷序列和无穷集合，我们就拿自然数集合来证。自然数集合就是无穷序列，也是无穷集合。首先可以证明自然数集合的存在，它是一个集合。怎么证明呢？根据无穷公理，可以证明归纳集合的存在。所谓归纳集合，就是满足皮亚诺公理前四条公理的集合。由于自然数集合滿足第五公理，所以自然数集合是最小的归纳集合。所以再根据替换公理，就可推出自然数集合的存在。证明了自然数集的存在，就证明了自然数集是一个构造完成的确定的集合，再根据外延公理可证，它是一个「元素不再增加」的集合。而自然数集合沒有所谓的「完成的标记」「最后一个元素」，自然非常容易证明。因为如果有「最后一个元素」，由于自然数+1还是自然数，就产生矛盾。从而严格地证明了〖无穷序列在结束完成时，并不一定有这个「完成的标记」。元素不再增加的集合，有穷集合有「最后一个元素」，无穷集合则不一定有。〗
顺便再说一声，我在这里证明了，自然数集合是一个「元素不再增加」的确定的集合。李先生所说的【由于自然数本身是可以不断地通过+1增长的，所以这个集含并不是确定不变的。】的论断是错误的。因为我们所说的自然数集合是所有自然数的集合，通过+1 得到的是自然数，已包含在集合中，所有自然数的集合的元素并未因此而增加。
附李鸿仪先生在《0738》文后的跟帖[1]…[11]
[11]李鸿仪 2021-11-26 16:19
这里要注意，所谓全体自然数不过是一个定义N＝｛×丨x是自然数｝，由于自然数本身是可以不断地通过+1增长的，所以这个集含并不是确定不变的。我曾经提出过弹性集合的概念，可以完美地解决这个问题。
[10]李鸿仪 2021-11-26 08:57
可能薛先生会说，没有列出来也没关系啊，只要我一直列下去，一直列到底，不就行了？
问题在于，有底吗？
[9]李鸿仪 2021-11-26 08:36
从表面来看，既然可列，当然可以一一列出，似乎天经地义。完全缺乏严格思维能力的康托是这么想的，他在证明中也是这样默认的，而完全没有独立思维能力的薛问天也是这么跟风的。
其实不然，在数学中可列有专门的定义，就是可以与自然数一一对应，但一一列出就是另外一回事了。
对角线或区间套法证明中，所谓一一列出，其实就是必须将实数表示为具体的符号或数值。
这与可列是不同的：可列定义本身就保证了所有的实数都与自然数一一对应，但我们却不可能把所有的实数的甚至也不可能把所有的自然数都一一列出来。
也就是说，可列定义只能保证可以一一列出部分实数，但却永远不可能把所有的实数都一一列出。
这就是可列和列出的联系和区别。
一个非常简单的事实是，从因果关系上来说，先有实数的数值，然后才有b的数值，既然实数的数值是永远列不完的，又怎么可能得到一个不等于任何实数的b呢？
事情就是这么简单。当然，对于缺少严格思维能力的“聪明人”来说，再明显的错误也是不存在的，而再清楚的概念体系也会被他糊里糊涂的脑子弄得一团糟。
在我的文章中，已经把可列和列出严格区分了，但是薛先生仍然看不懂，非常令人遗憾。或许，对一个缺乏逻辑思维能力的人来说，一旦被错误的东西先入为主地占据了头脑，再要改变是非常困难的
[8]李鸿仪 2021-11-23 16:48
例如，薛在zmn0742说
无穷序列在结束完成时，并不一定有这个【完成的标记】。
元素不再增加的集合，有穷集合有【最后一个元素】，无穷集合则不一定有。
但他并没有给出证明.
数学中除了不需证明的公理外，任何命题都是要加以证明的。尤其对于看上去不那么显然的东西，不加以证明,人家怎么会接受呢？
这种所谓的严格，难道不令人啼笑皆非吗？
数学中除了不需证明的公理外，任何命题都是要加以证明的，你可以请他证明
[7]李鸿仪 2021-11-22 16:59
有一句话说，人类一思考，上帝就笑了。这句话用在某些场合，也是成立的：搞数学的一说严格，搞热力学的就笑了。这么说一定很伤数学家们的自尊心，然而事实就是这样。在严格思维的能力方面，这两类人根本不在同一个数量级上。
[6]李鸿仪 2021-11-21 13:57
还有，薛先生似乎对从逻辑角度判断具体的证明过程的对错不太感兴趣，也可能是没有耐心，或者是没有这个能力？薛先生基本上是根据命题本身是不是符合现代数学的结论进行十分简单化的判断：符合就是对的，不符合就是错的。
一旦进入具体的证明领域，薛先生经常会进入很多思维混乱的状态，
例如，薛先生说实数集合可以由以自然数作标号的无穷序列全部包含，因而【可全部列完】。
全部包含=可全部列完？包含和我所定义的列出有什么关系啊？不可以包含而不列出吗？偷换概念！
再例如，薛先生说，在李鸿仪先生的【可列(李)】的理解下，尽管命题2(李)和命题3(李)成立。但是命题1 (李)是错识的，
为什么是错的，显然没有讲，恐怕也讲不出，除非他能具体指出【3】里面详细证明中的错误。
[5]李鸿仪 2021-11-21 13:19
薛先生显然还存在着一定程度的双标和逻辑循环，这些都是思维不严密的表现。
例如我在定义列出的时候，对无限小数采用了省略号，这是业内普遍使用的，康托也是这样用的，怎么到我这就不行了？外国人都是对的，错的也是对的；中国人都是错的，对的也是错的？这不是明显的双标吗？
我用一个符号来表示实数的时候，薛先生说，符号都是可教的，不能表示不可数的实数。但问题在于，我现在在研究对角线，这个工作还没有完成之前，我不知道世界上有没有不可数。如果我像薛先生那样先预设存在不可数，然后再来研究对角线，这不是明显的逻辑循环吗？
[4]李鸿仪 2021-11-21 13:06
从某种意义上说，数学是从定义开始的，一个新的定义往往可能产生很多新的思想，甚至一个新的数学分支。但是我觉得薛先生可能从来没进行过创造性的数学活动，所以只会用一些老的，人人所知的定义来套来套去。例如，数学中可列即可数（英语单词是一样的countable）的定义业内人人皆知，但薛先生好像除了这个定义外，其他什么都不接受。我的列出（list）和列完（list cpmpletely）和数学上的可列即可数（）一点关系都没有，完全是一个新的概念，所以我只能重新定义。而且我的命题都是根据我的定义自成体系的，薛先生要评论我的命题，首先必须根据我的定义来进行，看其对错，否则就是瞎胡闹。
[3]李鸿仪 2021-11-21 08:49
如果薛先生还是想不通命题1，我再仔细地一步一步地证明一下吧;
证明的关键是要绝对严格，也就是说，要老老实实一步一步地来，不能跳跃，更不能自作聪明，自作主张，自说自话，推导的每一个细节和步骤，都必须像1+1=2那样，清清楚楚，j经得起反复推敲，毫无问题。
以下是命题1的详细证明：
如果我们只列出了一个实数，则只要b的第一位小数与该实数的第一位小数不同，即可保证b不同于这个实数，但不能保证b不同于其他还没有列出来的实数；如果我们列出了2个实数，则还要使b的第2位小数与所列出的第二个实数的第2位小数不同，才可保证b不同于列出来的2个实数，但不能保证b不同于其他还没有列出来的实数......如果我们列出了n个实数，则还要b的第n位小数与所列出的第n个实数的第n位小数不同，才可保证b不同于列出来的n个实数，但不能保证b不同于其他还没有列出来的实数......由此可见，只要还存在着没有列出来的实数，即我们没有把所有的实数都列出，就不能保证b不同于所有的实数，命题1得证
[2]李鸿仪 2021-11-20 22:57
可列即可数的定义人人知道，我文中也已经写了，关键在于可列完（薛用可列（李）表示）这一概念，实际没有人真正讨论过，所以不可能用现成的数学语言来表示。
所谓可列完，其实再简单不过了，就是一个不拉地把所有所有数都列出来，显然，这是做不到的，所以说命题2，3成立。这一点薛其实也已经承认了，而且认为是不证自明的，至于命题1，要知道，对角线方法是根据列出来的实数取反来得到b的，所以如果不把实数全部列完，怎么能得到保证不同于所有实数的b呢？这个再简单再明显不过了吧？薛先生能推翻吗？
当然，不可能也不一定真的要把所有实数都写出来，可以“聪明地"通过脑子想象，我这里的列定义已经包括想象了，但把它想象全部列出来违反了命题2，3。，是不可以的：比如说能想象把所有自然数列完吗？如果可以这样想象的话，最后一个自然数是什么？这难道不是乱想吗？同样，假设为与自然数一一对应的实数也是不能通过想象就可以把它们全部列完的，自然数都列不完，实数又怎么可能列完呢？
如果说康托是无意地把可列与可列完搞混了，怎么我已经加以严格区别了，薛还是要搞混呢，没有能力区分它们？这也太差劲了吧。
[1]李鸿仪 2021-11-20 22:33
我在《对张景中院士zmn-726的评论》
zmn-736 http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=755313&do=blog&id=1313033
中说：
只要承认自然数是列不完的，那就不能不承认对角线错了。这是因为，既然自然数是列不完的，那么与此一一对应，即假定为可数的实数也是列不完的，而既然实数是列不完的，用对角线方法找出一个可能是还没有列出的实数就很正常，构不成任何矛盾，反证法不成立。
我还说
康托本人和全世界主流数学家一个多世纪以来都搞错了一个问题，就是把“可数即可列”与“可列完”这两个不同的概念混淆起来了，误以为可列就是可列完。而事实是，不要说实数，就是可列的自然数也是列不完的
薛问天显然再次把可列完与数学中的可列混起来了：
Zmn-0738 薛问天：李鸿仪先生的错误在于他的【可列完】同数学上的【可数(可列)】是完全不同的概念。评《0736》
实在搞不懂怎么会发生这种低级的错误，我说康托误以为可列就是可列完，实际上可列完和数学上的可列是不一样的，然后薛问天说【可列完】同数学上的【可数(可列)】是完全不同的概念，所以我是错的。
这都什么逻辑啊，还能讨论下去吗？
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