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Zmn-0757 Thebeater: 我们为什么要研究实数不可列?评0751, 0738, 0736。

已有 213 次阅读 2021-12-4 14:31 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0757  Thebeater: 我们为什么要研究实数不可列?评0751, 0738, 0736。

【编者按。下面是Thebeater先生的文章。是对《Zmn-0751, 0738, 0736》等文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

我们为什么要研究实数不可列?

评0751, 0738, 0736

Thebeater

  

 

         最近引起我思考的主要是Zmn-736李鸿仪先生的文章,Zmn-738薛问天先生的评语和评论中的讨论。有一点我觉得薛先生点评的很到位,李先生提出了一个自己的概念:可列完,或者说可列(李)。李先生明确承认了这个概念与经典的结论实数不可列中的可列是不同的。(这一概念我在Zmn-741中已经解释过了。)

         我觉得薛先生一语中的,指出了这个概念与经典概念不同。但可能还差临门一脚:为什么我们一定要研究经典的概念,而不能是可列(李)呢?换句话说:我们为什么要研究实数不可数?如果让我来总结的话,李先生提出的可列完或者可列(李)有三大问题:

概念不清独创不足用途不明

1,这一点薛先生已经指出了,可列(李)没办法用清楚的数学语言表述,只能用物理含义解释。而李先生对此不置可否。我认为,薛先生的指责是有道理的。关键在于,概念必须要清楚明白。既然这个概念是李先生提出来的,那么李先生就有责任把他解释清楚,毕竟您提出的概念您清楚,但是我们可是第一次听说啊。至少要做到随便拿一个对象,是不是可列(李)得有明确的答案。不能同一个对象,有人从您那里学完了觉得是可列(李的),有人却觉得不是,这就乱套了。而把一个数学概念描述清楚,最好的办法就是用数学语言解释。既然这叫数学啄木鸟,我们有理由相信大家都有最基本的数学能力吧,至少逻辑清晰,表达明确要做得到才行。比如我随便说几个对象:自然数全体的集合、整数全体构成的集合、所有偶数的集合、所有能表达成两个素数和的偶数的集合、所有素数的集合、所有素数对子的集合、所有孪生素数的集合(作为前者的子集)。那么李先生,这些可列(李)否?

2,这条的意思是,可列(李)与有限集合的概念有何不同?如果是相同的概念,那么可列(李)就完全不是独创的概念了,还跟已有的概念重复了,那有什么好值得研究的?李先生说了,可列(李)的集合一定有最后一个列出来的元素,这也是薛先生反复追问的。那么有第一个、有继续列出来的、有最后一个,这不就是有限集合吗?否则的话,李先生能找出来哪怕一个无限的可列(李)的集合吗?李先生在zmn-0736中对文兰院士的解读纯属望文生义,文兰院士的“列好了”,指的是给出了一个明确的自然数与某些实数的对应,只要我们知道这个对应是什么样的,那就意味着列好了,例如我们把每个自然数n对应到10^(-n),这就是一串列好了的实数。我在zmn-741中提到的好集合也正是此意。

3其实是我最想说的。虽然列在最后,但是这才是最最重要的。康托引入不可列其实有非常明确的目的,用途很清楚,就是为了解决一个很具体的问题。这是我写下本文的主要目的。而李先生的可列(李),能解决什么问题呢?有什么用途吗?如果毫无用途,那凭什么我们要理解你这个概念呢?

 

好了,前面是引子,下面是我的主要内容。如果大家对实数不可数这一命题有或多或少的疑虑或者质疑,那我觉得我的一家之言也许能够厘清一些思路。

请允许我再次重复一下问题:我们为什么要研究实数不可数?

这我想提一下林益先生的一个观点,例如在Zmn-740中,他问能不能找到康托的具体论述。很多时候找这类原始文献很困难,但是读原始文献确实很有帮助。康托最早引入实数不可数这一问题是在他1874年的文章中,标题翻译过来是《关于所有实代数数的一个性质》。这篇文章是用德语写的,我不懂德语,但是网上有很多英语翻译,很容易搜索到,但是我不知道有没有中文的翻译。大家可以试着搜索一下,找到了可以分享一下,或者如果大家有兴趣我可以毛遂自荐写个翻译。

在这篇文章中,康托甚至没有特意讲可数或者不可数这类词。他的这篇文章有很明确的目的:证明存在非代数数的实数。我相信大家都清楚,代数数指的是能表达成多项式的根的数。我们现在知道了,pi还有e都不是代数数,或者叫超越数。但是在那个年代,人们都还没证明这些事情。所以有个问题困扰了很多人:究竟是不是所有实数都能表达成多项式的根呢?如果肯定的话,那么世界就太美好了,我们能很容易的表达每一个实数,只要找到对应的多项式就好了。当然了,人们还是猜测答案是否定的,但是都不知道怎么证明。

这时,康托另辟蹊径,他就想,要解决这个问题,只要证明代数数全体和实数全体,这两个集合不一样就好了。那我们来找一个性质,并且可以容易地判断,这个性质代数数全体具有,但是实数不具有,那么问题就解决了。这就是他这篇文章做的事情。从另一个角度来说,在这篇文章中,康托非常具体清晰地构造了一个实数,不是任何多项式的根,从而解决了问题。

而这个性质,就是我们现在说的可数。

所以说,实数不可数并不是凭空出现的,而是有着很明确的目的。康托并不是为了证明不可数而证明不可数,而是为了解决一个很具体的问题。哪怕你觉得这个概念说的不好,想换一个取而代之,也不能否定康托原本的概念的巨大价值。黑猫白猫,抓到老鼠就是好猫。

究竟是不是所有实数都能表达成多项式的根呢?只要你觉得这个问题有意义,只要你也想知道这个问题的答案,那去理解康托的这篇文章、康托定义的这个性质就有意义。

我觉得所有质疑康托实数不可数的人都应该好好看看康托的文章,看看他的本质。他的核心目的是寻找关于所有实代数数的一个性质,证明实数不具有这个性质。在文章中,康托甚至具体的构造了一个不是代数数的实数。如果你有心,甚至可以编写一个程序,来复现康托的构造,看看一百多年前康托造的这个数长什么样、每一位是几。只要你不能反驳康托的这个具体的构造,只要你不能找出康托论证存在非代数数的实数的问题,那就没有触及康托证明的核心。康托最最原始的证明甚至用的不是对角线法,而是实数上的闭区间套原理,或者说单调有界数列必有极限。如果你连康托的原始证明都没看过,却要大谈他有问题,那不就像是没读过《红楼梦》的红学家吗?

 

 

 

 

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