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Zmn-0766 薛问天：确实要改变连一些最简单的无穷集常识都不懂的状况，评新华先生《0763》
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Zmn-0766 薛问天：确实要改变连一些最简单的无穷集常识都不懂的状况，评新华先生《0763》
【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对新 华先生的《0763》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
确实要改变连一些最简单的无穷集常识
都不懂的状况，评新华先生《0763》
薛问天
非常有趣的是新华先生在《0763》文后说 【...实际理论水平竟然这样不作调，连一些简单的常识都不懂，常规的知识也不了解，】希望【...多看一些书，多动动脑子，对于问题多思考思考， 应慎言，免得让人笑话，丢了面子还没有长进。】
而这正是我看了新华先生《0763》文后，想对新华先生说的话。
新华先生《0763》的三段，正好说明在这三个问题上。新华先生【连一些简单的常识都不懂，常规的知识也不了解，】下面我们来逐个说清。
1，新华先生竟然不懂无穷集合可以同它的真子集一一对应。
这应该是一个集合论中最简单的常识吧，无穷集同有穷集的本质区别，就在于有穷集不能同它的真子集一一对应，而无穷集必然存在同它一一对应的真子集。
也就是说，任何有穷集A，在它的子集中只有一个同它等势，基数相同，那就是它自己A，别的都不是。因为它自己的真子集不能同它一一对应。而无穷集则相反，任何无穷集A，在它的子集中，除了它自已A同它等势外，还有无穷多个不是它自己的真子集同它一一对应。
因而很明显，如果集合A是有穷集，它的基数是n，则同A基数相等的子集类An的元素只有一个，就是它自巳A。但是如果A是无穷集，它的基数是μ，则同A基数相等的子集类Aμ的元素，除了A以外，还有无穷多个A的真子集。
新华先生用只有两个元素的有穷集A，它的的子集类A2只有一个元素，来说明A是无穷集时，A的基数是μ，Aμ类也只有一个元素。这种论证简直荒谬之极。
新华先生就是这么论证的，他说【就如 A： {a1 , a2}， u=2，A0类为：∅；A1 类为：{a1},{a2}；A2类为： {a1 , a2}。难道不就是只有一个元素吗？ 如果连这点都不懂,还有讨论幂集定理的能力吗？】
如果是一个明知错了，不愿口头承认错误，胡说一个【理由】，打个贫嘴开个玩笑，胡龙一下，也还可以理解。但要正而吧唧在这里正式论证。则必须严格指出这个荒谬论证是个严重的错误。
尊敬的林益和新华先生 。我真诚地对你讲。道理已经讲得如此清晰，你现在还能坚持错误，认为对于无穷集A，没有多个真子集同它一一对应，Aμ中只有它自己一个元素吗？最好的态度，我认为应是心服口服，承认错误，因为这是表示进步，真正受人尊敬。当然你也可以保持沉默，心服口不服。当然也可心口都不服，再提出一些辩解的【理由】，我拭目以待。
另外新华先生对林益先生关于无穷集A，认为①【A 2是A 的子集】，②【不存在f(x)使得A2的元素 x，使得f(x)∈A ] 的错误，提不出任何辩解的理由，说是【确实需要查证】【“ 2μ>μ” 证明中反证法的第二部分，】
其实这同幂集定理无关，①的错误在于不了解这个简单的常识：A的子集类A2不是A的子集，是A的子集类,A2的元素才是A的子集 。②的错误在于不了解，A2是可数的，A也是可数。而一个最简单的常识是，可数集同可数集自然可以建立一一对应，存在它们之间的双射函数f(x)。
顺便再说一说，林益先生也认为A2是可数的。他在《0746》中说【显然任意一类Ai的元素都是按照所含 A 中元素的下标和的从小到大的顺序构造排列的，按照康托尔一一对应原则，Ai的元素都可与自然数构成一一对应，因此任意一类Ai都能构成可列集，】
林益先生只是在这里笼统地说了说，并未严格证明。严格证明可证在i是有穷自然数n时，An是可数的。可以如下严格证明。
An是个数为n(有穷自然数)的A的子集构成的类。即An={u丨u是A的子集，且u的个数等于n}。我们令Bk表示个数为n的，而且其中最大元素是ak的A的子集的类。即Bk={u丨u是A的子集，且u的个数等于n，并且子集u中的最大元素是ak。} 显然对任何k∈N，Bk都是有穷集。同时有An=Bn U Bn+1 U Bn+2 U ...。显然可数个有穷集的并集的基数是可数的，即证明了对任何自然数n，An可数。但证明不了i=μ，基数μ是可数无穷时Aμ可数。
2，新华先生和李鸿仪先生一样，不懂得也不承认有关无穷集元素「所有都成立」的逻辑规律。
我们知道在数理逻辑中，除有个存在量词⺕外，还有个全称量词∀。全称量词的含意就是指论域集合中的任意元素和全体(所有)元素。而且认为如果某谓词P对集合中任意元素都成立，则对此集合中全体(所有)元素都成立。记作(∀x)P(x)。我想这也是最简单的逻辑常识吧。
李鸿仪先生不懂得这个逻辑。在康托尔定理的证明中，我们已证明序列中的任意实数ai同所构造的实数b不相等。这就证明了b同序列中所有的实数都不相等，而李先生说实数有无穷多个，要一个一个地证明它同b不相等，但是证明步骤只能允许有穷步，所以你不可能证明b同序列中所有实数都不相等。
新华先生同样，在反证法假定实数集R可数的条件下。我们证明了使R可数的任意双射组成的序列，都存在有实数b不在此序列中。引起矛盾。这就证明了对于使R可数的所有双射形成的的序列，都有实数b不在此序列中。引起了矛盾，从而推翻了可数的假定，证明了R不可数。
然而新华先生认为【反证法必须把符合反方的情况都排除，而不可数的反方的情况是可数，而可数的情况是符合康托尔可列可加性定理的，也就是说有可列种可列数列，难道排除一种就能代替可列种吗？这不就是表明康托尔对角线证法存在错误吗？ 薛问天先生懂反证法吗？】
说【不可数的反方的情况是可数】，这当然对，所以假定【R可数】。说【反证法必须把符合反方的情况都排除】这当然也对。说【可数的情况】，即使R可数的双射，有无穷多种也对。(但是说【是符合康托尔可列可加性定理的，也就是说有可列种可列数列】的论证不合适。不过说映射不止一种，有无穷多种，这是对的。我们这里可以暂不管这个论证，)
说有【无穷多种难道排除一种就能代替】所有这无穷多种吗？
从这个问话就说明新华先生对证明中所用的是【任意】，就能证明了【所有】这样的逻辑常识，缺乏足够的认识。
在证明中说假定R可数，就必然存在R同N之间一个双射。然后对任意这种双射形成的序列，组成的方阵，可找到实数b不在序列之中，产生矛盾。也就是说这里的证明，是对使R可数的【任意】双射进行论证的，那么就证明了对使R可数的【所有】的双射都成立。在证明中用通用的符号a1,a2,...来代表双射形成的序列，用ai=0.ai1ai2...代表实数，用的都是通用符号，同任何具体特殊的实数无关。这就说明这是【任意】的而不是【特殊】的，所以证明的结果就对【所有】的双射都成立。因而致R可数的双射有无穷多个，并不需要一个一个地排除，只要证明排除的是一种【任意】的双射，就能证明排除了【所有】的双射。
新华先生的问题就在于他和李鸿仪先生一样，不懂得也不承认这样的使「所有都成立」的逻辑推理。
3，新华先生持非现代实无穷观，讨论康托定理的证明毫无意义。
大家都知道，集合论是以现代实无穷观为基础的。我想这也是最简单的常识吧。不持现代实无穷观，当然认为集合论是错的。不承认无穷集合有确定不变的元素，当然就不同意无穷集合还能一一对应，还能有不变的确定的基数。这不用讨论大家都明白，他们肯定是认为集合论中的有关无穷集合的论断都是错误的。甚至认为无穷小数没有数值，连数都不是。在这样的基础上去同持非实无穷观的人讨论集合论的具体命题，如实数不可数(可列)，幂集的基数大于原集的基数，这些康托尔定理的证明，是毫无意义的。
我建议那些不承认集合论基本概念的人也不必参与有关集合论具体问题的讨论。因为你根本不承认无穷集合有确定不变的元素，自然也不承认无穷集合有确定不变的基数，因而比较基数的大小。讨论基数谁大谁小，对你们来讲没有任诃意义。
新华先生说【康托尔研究一辈子无穷理论也没有 写出一个真正的可以列完的无穷数列，因为无穷就是有限的延伸， 有始无终， 不能完成，不能结束，】【实际无穷十进制小数由于位数在不断延伸过程中， 数值也在不断增加延伸过程中，都不是一个确定的数值，不具有数是定值的属性，根本不是数，根本不能代表区间[0,1]中的实数， 如果认为是数，就违反逻辑定义的同一律原则。连证明的对象都是错误的， 康托尔对角线证法还有什么意义呢？还能说明康托尔对角线证法不存在错误吗？】
康托尔定理是证明由区间[0,1]中的实数构成的无穷集合的基数是不可数的基数，持非现代实无穷观的人连无穷小数是实数都不承认，连实数是无穷集合，有确定不变的基数都不承认，而且认为康托尔定理【证明的对象是错误的】。同持这种观点的人讨论康托尔定理的证明，讨论【实数不可数】的证明，这不成了天大的笑话，这种讨论最好不要参加。因为这样的讨论，无论对谁，不管他持何种无穷观，都毫无价值，毫无意义。
综合上述，确实要改变连一些最简单的无穷集常识都不懂的状况。
参考文献
返转到
zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录
https://m.sciencenet.cn/blog-755313-1315827.html
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