Zmn-0903 李振华：破解高数谬论——无穷个无穷小的积不是无穷小

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破解高数谬论——无穷个无穷小的积不是无穷小

李振华

这一次，李先生将使用非标准分析，并在此基础上定义一些概念。

本文充分证明了非标准分析是扫除悖论的有力工具，而epsilon-N语言是被鬼魂吓破胆的产物，是恐惧的产物，所以是不自然不方便的，工程师和物理学家很少使用这个东西。

直觉告诉我们：有穷个无穷小的乘积是无穷小，那么无穷个无穷小的乘积就是更小的无穷小。

那么为什么教材里说不一定？直觉不可靠，只有逻辑可靠？其实不是，因为他们把后面的数扔掉了。错的不是直觉，而是他们对无穷的处理。

在微积分中，无穷个数的和或积，这里的无穷是不可数无穷，只有满足了一定条件，才能转化成可数无穷，而人们认为是可数无穷，起点就已经错了，所以必然反直觉。

所有项的和=所有有限序项的和+所有无限序项的和

只有当所有无限序项的和=0时，才有所有项的和=所有有限序项的和。

所有项的积=所有有限序项的积×所有无限序项的积

只有当所有无限序项的积=1时，才有所有项的积=所有有限序项的积。

S(H)=a1×a2×a3×...×aH

所有项的积=st(S(H))

所有无限序项的积=st(S(H)/S(K)).K是比H低阶的无穷大。

所有有限序项的积=st(S(H))/st(S(H)/S(K))。

同理，无穷个数的和的相关定义就不写出来了。

例子1：证明1/2+1/4+1/8+,,,=1

S(H)=1/2+1/4+1/8+,,,+1/2^H

st(S(H))=1,st(S(H)-S(K))=0

1/2+1/4+1/8+,,,=st(S(H))-st(S(H)-S(K))=1-0=1

这样才算严格证明了1/2+1/4+1/8+,,,=1，以前的都不算。

例子2：证明4/3×9/8×16/15×...×(n+1)^2/(n×(n+2))×....=2

S(H)=4/3×9/8×16/15×...×(H+1)^2/(H×(H+2))

st(S(H))=2,st(S(H)/S(K))=1

4/3×9/8×16/15×...=st(S(H))/st(S(H)/S(K))=2/1=2

使用以上的概念来分析无穷个无穷小的积不是无穷小，就会发现所有的反例都是不成立的，因为都不满足上面的条件。打个比方，这些人的逻辑是这样的：

1、1/2×1/3×1/4×1/5=1/120

2、扔掉1/5

3、宣称1/2×1/3×1/4=1/120

他们实际上就是这样干的，唯一的区别是他们有穷多个数相乘。下面以一个典型的反例来说明：

1、S(H)=1/H×2/(H-1)×3/(H-2)×....×(H-2)/3×(H-1)/2×H/1=1

2、扔掉所有无限序项的积=st(S(H)/S(K))=无穷大.K是比H低阶的无穷大。

3、宣称所有有限序项的积=1/H×2/(H-1)×3/(H-2)×....=1

他们扔掉了无穷多个数，只留下无穷小，但1的结果是不扔掉这些数计算出来的。魔术大师。哈哈。

然而根据作者的理论，所有项的积=所有有限序项的积×所有无限序项的积。在上面的例子中，由于所有无限序项的积=无穷大，所有项的积=1，那么所有有限序项的积=所有项的积/所有无限序项的积=无穷小，反直觉并不存在。由于没有满足条件，他们的做法就是偷换概念。

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