Zmn-0950 薛问天: 沈卫国先生逻辑推论的错误，评《0949》
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沈卫国先生逻辑推论的错误，评《0949》
薛问天
沈卫国先生的大多数错误都出自他的逻辑推理。也就是说他的逻辑推理缺乏严格的训练，常在这里出错。他的这篇文章《0949》也是如此，错在逻辑推理。
他文中列举的这个事实是对的。【就是按康托对角线法的逐位求异操作，是不可能完全排除产生的新数是一个有理数（循环小数）的可能性的。】
确实如此，在证明中证明存在一个新数是实数，并沒有证明这个数是无理数，所以不可能完全排除产生的新数是一个有理数。这个事实是正确的。
沈先生的错误在于由这个正确的事实，运用错误的推理，推出了错误的结论。他说【而只要有这种可能性存在，康托对角线法想要完成其证明无理数不可数的任务，就必然要失败。】
沈先生的推理错误错在哪里，我们来具体分析。
1，关键是要认识到，康托尔定理不是在直接证明【无理数不可数】。而是在证明单位区间中的【实数不可数】。正是由于康托尔定理证明了【实数不可数】，又证明了【有理数可数】，再根据实数集=有理数集U无理数集，才推出了【无理数不可数】。
当然，如果认为定理是直接证明【无理数不可数】，反证法假定的是无理数可数，是由无理数序列求出的不在序列中的新数，由于有【不可能完全排除产生的新数不是一个无理数。这个事实】，就产生不了矛盾，推翻不了反证法的假定，证明不了【无理数不可数】。
这就如同用对角线方法证明不了【有理数不可数】的道理是一样的。如果反证法假定的是有理数可数，是由有理数序列求出的不在序列中的新数，由于有【不可能完全排除产生的新数不是有理数。这个事实】，就产生不了矛盾，推翻不了反证法的假定，证明不了【有理数不可数】。
所以一定要认识清楚，康托尔定理不是在直接证明【无理数不可数】。而是在证明单位区间中的【实数不可数】。
2，既然康托尔定理证明的是【实数不可数】，那么新数是不是无理数，不影响定理的证明。
康托尔定理证明的是【实数不可数】，那么反证法假定的是单位区间中实数可数，全体这些实数形成序列。是由这全体实数序列的对角线用逐位相異的方求出的不在序列中的新数，既使有【不可能完全排除产生的新数是一个有理数。这个事实】，也沒关系。只要这个新数是不在序列中的实数。就推出产生了矛盾，即【全体实数在序列中】同【存在不在序列中的实数】的矛盾。这个推出的矛盾推翻了反证法的假定，证明了【实数不可数】。
3，其实沈先生知道康托尔定理证明的是【实数不可数】，但他却错误地认为【不可能完全排除产生的新数是一个有理数。这个事实】，影响了证明的有效性。这是由于他不了解康托尔证明的实质，产生的推理错误。他说【如果一旦对角线上产生的那个数是个有理数，也就是无限循环小数，则因为有理数早就被证明是可数的，因此任何一个集合少了一个可数集合的元素甚至全部可数子集，都不能证明原集合就是可数集还是不可数集。因为一个集合A，加上或减少任何一个可数子集（还不用说可数集中的某一个元素），都不能证明原先的集合A究竟是可数的还是不可数的。只有每次都减少一个非已知可数集或其中一个元素的情况，才有可能证明该集合A是不可数的。】
显然沈先生就没有看懂康托尔定理的证明，证明用的是反证法，证明的思路，是在此实数可数的假定下推出矛盾，即【全体实数在序列中】同【存在不在序列中的实数】的矛盾。用此矛盾来推翻实数可数的假定，最后证明实数不可数。並不是直接证明实数不可数。即证明的思路并不是推出实数可数再加上一个新实数，这个新实数是有理数，证明不了实数不可数。要知道按此思路，既使证明了新数是无理数也证明不了实数不可数。康托尔定理就不是这样证明的。这纯属沈先生理解的错误。所以说沈先生的推论【对角线上新产生的数，是一个无理数，对证明实数不可数而言，是必要的。但不是充分的。】是完全错误的。
4，既然沈先生认为不保证【对角线上新产生的数，是一个无理数，】就证明不了【实数不可数】，这个结论是错误的。因而他所作的一些，在二进制和十进制下，怎么安排使【对角线上新产生的数，是一个无理数，】的讨论，就是多此一举的讨论，毫无意义，废话连篇。因为只要证明【对角线上新产生的数，是一个实数，】就证明了【实数不可数】。
5，关于有理数的情况。我在前面已讲过。
如果反证法假定的是有理数可数，由全体有理数构成可数的无穷序列。是由有理数序列求出的不在序列中的新数，由于有【不可能完全排除产生的新数不是有理数。这个事实】，就产生不了矛盾，推翻不了反证法的假定，证明不了【有理数不可数】。也就是说对角线的证明方法并不会产生【有理数不可数】这个错误的证明。沈先生由此说证明方法有错，说什么【因此，康托对角线法从这个角度讲，也是没有证明实数不可数的。】显然是毫无道理的。
6，李先生文中提到他曾经用【多进制下多值的位数与罗列实数一一对应这个隐含假设】，来否定【对角线的反证法】。其实这完全是无中生有。全体实数同自然数的一一对应，这是由反证法的实数可数的假定给出的，多进制下多值的位数同自然数的一一对应，这是由实数理论中实数可由无穷小数表示的理论提供的。都同自然数一一对应，根据一一对应关系的传递律，自然推出【多进制下多值的位数与罗列实数一一对应】，这是推出的结论，哪里是什么【隐含假定】。沈先生的质疑完全是子无虚有。
7，小结。
要知道如果是在直接证明【无理数不可数】，假定【无理数可数】，对一个无理数序列，只要无法排除按对角线法逐位求异操作在对角线上可以产生有理数的可能性，对角线法证明【无理数不可数】即失效。失效的原因并不是【因为有理数集早就被证明是可数集，全部拿掉它也不能证明无理数集可数与否。】而是如果不能断定新数是无理数，就推不出矛盾，使定理得证。
康托定理是证明【实数不可数】把无理数换成了实数，对角线上产生的是一个实数，不需要默认它是无理数，就可以产生矛盾，即【全体实数在序列中】同【存在不在序列中的实数】的矛盾。使定理得证。证明中並不需要保证对角线法在对角线上后产生的那个数是无理数（非循环小数），并不需要事先做出任何安排给定，就使定理得到严格的证明。
8，其实沈先生用不能保证新数是无理数来否定康托尔的证明只是一个借口，他认为既使保证新数是无理数也证明不了【实数不可数】。
沈先生最后说【即使对角线上新产生的是无理数，由于位数的多值性这个隐含假设之故，康托对角线法也没有证明实数不可数（充分性），更何况对角线上新产生的数还不一定就是无理数，】
实际上沈先生反对的是康托尔使用的反证法。
我现在要问的是，沈先生你承认不承认反证法的证明。在反证法的【实数可数】的假定下，单位区间
中的全体实数形成序列。由序列产生的新数是不在序列中的实数，从而推出【全体实数在序列中】同【存在不在序列中的实数】的矛盾。你认为这个矛盾能否推翻 【实数可数】的假定，从而证明【实数不可数】的定理。你承认不承认反证法的这个证明。这才是沈先生问题应关键。
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