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Zmn-1133 薛问天: 微分定义不存在貝克莱悖论,评新华先生《1132》。

已有 222 次阅读 2024-5-14 20:27 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-1133问天: 微分定义不存在貝克莱悖论,评新华先生《1132》。

【编者按。下面是薛问天先生的文章,是对新华先生的《Zmn-1132一文评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神,对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意,也有些有严重错误的文章在这里发布,就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

 

 

 

微分定义不存在貝克莱悖论

评新华先生《1132》

 

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 

薛问天-s.jpg一,微分定义不存在貝克莱悖论

1,要了解,贝克莱悖论是指在求导数时同时要求∆𝒙=0,又要求∆𝒙≠0,这才产生了矛盾。而微分的定义dy=AΔx,dx=Δx,是允许Δx=0,并不是要求一定Δx=0。所以可以在∆𝒙≠0时,dy/dx=f´(x),这並不产生矛盾。微分是【允许】Δx=0。没有要求∆𝒙=0和∆𝒙≠0【同时成立】。这是重要的区别。

2,无穷小这个变量,可以是大于 0 的,当然不能把无穷小当成 0 处理。但要注意不要把无穷数列 0.9,0.99,0.999,⋯ 同无穷小数 0.999⋯ 混为一谈。无穷小数是一个确定的数,不是无穷序列,而是这个序列的极限,它等于1。无穷数列 0.9,0.99,0.999,⋯ 的任意一项都小于 1,但是认为无穷小数 0.999⋯<1是错的。无穷小数序列的极限,是 0.999⋯=1。

 

二,请注意,我们是在理论上讨论问题,不是在讨论具体的应用。

你所说的“∆𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙+𝒐(∆𝒙)”形式的表达式,【只对部分函数有效,其它函数都不具备这样的条件】,当然是不对的。你所说的【其它函数】,是肯定同你所说的【部分数】一样,要求要满足一定条件才能表达。这个有效条件都是一样的,那就是可导。当Δx→0时,Δy/Δx→f´(x)。

从理论上可以严格推出,如果这个条件成立,则φ(Δx)=(Δy/Δx)-f´(x)是无穷小,即当Δx→0时φ(Δx)→0。也就是说φ(Δx)Δx是高级无穷小。而且可以表达为∆𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙+φ(∆𝒙)Δx。

这就从理论上证明了,任何函y=f(x),只要是它满足可导的条件,就可以表达为∆𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙+φ(∆𝒙)Δx。这就是你所要求的表达式: ∆𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙+𝒐(∆𝒙)。只不过其中的𝒐(∆𝒙)是φ(∆𝒙)Δx。而且明确说明了φ(Δx)=(Δy/Δx)-f´(x)而已。这就从理论上证明了,不仅你说的用此表达式表达部分函数有效,任何其它可导的函数都可有效表达。

新华先生不仅要在理论上认清可表达,还想具体看看是如何表达的。这其实很简单,代入就可以了。

对于𝒚=𝐬𝐢𝐧 𝒙,我在《1124》中已说清,可导𝒇′(𝒙)=cos x。代入即得∆𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙+φ(∆𝒙)∆𝒙,其中

φ(∆𝒙)=∆𝒚/∆𝒙−𝒇′(𝒙)=(sin(x+Δx)-sin x)/Δx-cos x。

如果还嫌不清楚,把它写出来就是

∆𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙+((sin(x+Δx)-sin x)/Δx-cos x)Δx。    (1)

可证其中((sin(x+Δx)-sin x)/Δx-cos x)Δx就是高级无穷小𝒐(∆𝒙)=φ(∆𝒙)Δx1个表达式就是你要求的具体表达式。

对于函数𝒚=𝐥𝐧 𝒙和𝒚=𝐞^𝒙同样由其可导可求出相应的φ(Δx)。代入即可求出相应的∆𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙+𝒐(∆𝒙)表达式。其中的𝒐(∆𝒙)=φ(Δx)Δx。太简单了,不用我来表达了。

 

 

 

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