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《时间之问9》连分数、密率与黄金分割
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内容梗概：连分数不仅可以应用于天文历法，还可以表示祖冲之提出的近似圆周率的密率和约率，并且和黄金分割有着紧密联系。连分数就像一台三维CT扫描机，一个表面上看没有任何规律的数字放到连分数下面立刻呈现出内部构造之美！
一周以后，老师和学生在同一餐厅碰面了，他们接着上次的连分数话题接着聊。
“祖冲之最重要的数学研究成果圆周率，也能用连分数表示出来吗？” 学生问道。
“我们试试看，先把pi=3.1415926535....做连分数展开：
“嗯，随着连分数的展开，后面的分数越来越接近3.14159265了。” 学生说道。
“祖冲之得出了pi的两个近似分数表示，其中的疏率就是22/7，而密率就是355/113。而且密率非常好记，就是把113355从中间截断，变成113和355分别作为分子和分母。它的误差达到了10的负7次方级别。”
“那再往后展开呢？”
“接下来突然来了一个很大的数292，它的倒数很小，意味着它对连分数的精度影响很少，我们就认为连分数的精度突然提高了很多。事实上，292这个数字让渐进连分数的误差一下子降低了3个数量级！”
“那后面还有什么呢？” 学生问道。
“后面的数就比较小了： [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, ...]，而且没什么规律。”
“pi真是一个奇妙的数字。”
pi
“不过...如果真的要找规律，也是可以的。就是要把条件放宽一些。”
“什么条件？”
“如果把连分数的定义变宽，不要求分子一定是1，那么 π 的连分数就有很多漂亮的展开形式：”
pi的广义连分数展开
“哇！突然又变得好美！连分数就像一台3D的CT，能看到数字内部的构造。” 学生说道。
“那我们再用连分数试试其它数？说到美，其实还有一个更美的数。”
“是什么数呢？”
“你想想古希腊神庙上的比例，金字塔的比例...”
希腊神庙
“黄金分割0.618吗？”
“对。假定有一个长方形，宽是1，长是x（x<1），截掉一个变长x的正方形后，剩下的长方形的长和宽分别是x和(1-x)，它与原来的长方形相似，即长宽比不变。”
“哦，我想起来了，如果在这个小长方形里再截去一个正方形，剩下的长方形仍和原长方形相似。以此类推，继续下去，可以无穷做下去，所得到的每一个长方形都和最初的长方形有同样的宽长比。”
“对，这种长方形具有的宽长比就是黄金分割数。”
黄金分割意味着截掉一个正方形后比例不变
“怎么计算黄金分割比呢？”
“有两种方法，第一种方法：直接求解上面提到的方程，得到x=(√5-1)/2=0.618.
“第二种方法呢？”
“不是直接求解方程，而是逐渐迭代，例如从这个方程出发，我们可以得到：
“然后就可以把x写成一个分式：
“在上式右边分母中继续用1/(1+x)替代x，得到：
“继续替换下去，就得到x的连分数展开：”
“哇，这么漂亮的展开，所有的数都是1，每增加一行就增加一个1。”
“我们把连分数逐个截断，就有了一串近似分数。随着展开越来越多，连分数的的数值越来越趋向于黄金分割点。”
“如果你观察一下这些分数的的分子和分母，就会发现一个有趣的规律。” 老师说道。
“我看看”，学生盯着这一串数字看来一会说：“看出来了，一个近似分数的分母刚好是下一个截断近似分数的分子，比如2/3的分母3刚好是3/5的分子，3/5的分母5刚好是5/8的分子，以此类推。”
“还有一些规律，你再找找。”
“哦？有什么提示吗？”
“这次只看分母。”
“1,2,3,5,8,13,21... 哦！看出来了，任意相邻两个数之和刚好等于下一个数。”
1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13, 8+13=21 ...
“对了，这就是斐波那契数列！”
“真有意思。”
“而且，你再看看所有分子组成的数列！” 老师说道。
“哦，一样的，也是斐波那契数列！”
“对。斐波那契数列隐藏在自然界许多动物和植物身上，比如海螺的螺旋形，花椰菜的图案，等等。”
斐波那契数列形成的螺旋形 Fibonacci Spiral (from Wikipedia)
自然生物里的斐波那契螺旋
“连分数真是神奇，第一个用连分数的是谁呢？”
“有人说是高斯在研究最大公约数的性质时发现的，也有人说是1579年－Rafael Bombelli,《L'Algebra Opera》 - 与连分数有关的提取平方根的方法。”
“就是那个德国的数学王子高斯吗？”
“对。比如求两个数25和35的最大公约数，我们直接看出来是5。但是如果这两个数的最大公约数不能一下看出来，该怎么办？高斯想找到一种通用的方法来求解最大公约数。”
“高斯是怎么做的呢？”
“比如408和126的最大公约数，是不能直接看出来的。那么高斯用408除以126，得到的商是3，余数是30. 可以写成：408=126x3+30. 然后高斯用除数126继续除以余数30，商是4，余数是6，可以写成126=30x4+6. 最后高斯如法炮制，继续用除数30除以余数6，得到了商6，余数等于0，30=6x5。于是计算结束。所求的最大公约数就是最后一个除数6. ”
“可这背后的原因是什么呢？”
“我们把上面的式子写成三行：
“如果表示成分式就是：
“我们合在一起就是连分数：
“最后一次相除，除尽了，表示存在最大公约数，那么最后的除数就是它们的最大公约数，这里是6.”
“今天，连分数大放光彩。” 学生靠在椅背上长叹一声。
“嗯，最后我们再来一个花絮，看看自然对数e的连分数展开。”
“e是无理数。”
“对，它的十进制前200位没有任何规律。”
e = 2·71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 470936999595749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 6427427466 39193 20030 59921 81741 35966 29043 57290 033429526059563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901 ...
“展开成连分数后呢？”
老师把e的数值输入到连分数计算器里，发现了下面的结果：
“漂亮！没想到无规律的数，经过连分数展开，显现出这么有层次的内部结构！” 学生说道。
“今天我们先聊到这儿吧。”
“好的，老师再见！”
*****《时间之问》已由清华大学出版社2019.3出版 *****
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