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ZX演算(三)

已有 866 次阅读 2022-6-29 13:44 |个人分类:量子计算|系统分类:科研笔记

ZX演算

左 芬

上海微观纪元数字科技有限公司

 

(三)  CZ

 

夏天的上海真的如同火炉一般。为了防止烧坏脑子,我们来玩点简单的东西。前面我们介绍了Z-蛛与X-蛛,并用她们重新表示了CX门。同时我们还发现,Z-蛛与X-蛛具有互补性甚至强互补性,类似于坐标与动量的不确定性原理。上回我们用ZX演算图形式证明了CX门的幺正性,并利用三个交错的CX门构建了交换门。这回我们用CZ门来展示一下ZX演算的妙处。

 

上次我们说CX门在ZX演算中可以表示成Z-蛛与X-蛛的组合:

CNOT2.png

注意这里时间是自下往上的。所以从“相空间”的角度来看,两个量子比特具有某种对等性。但是在量子电路中,我们通常选定Z表象(“构型空间”),所以会出现控制比特和受控比特的区别,这就是最右边梯形尖角的由来。而CZ门则不一样。CZ 门的定义是:当控制比特为1时,对受控比特作用Z=diag(1,-1),如下图:

CZ.png

其整体效果是,仅当两个比特都为1时,改变整个体系的符号。因此,CZ门中两个比特的地位是对等的,控制与受控的关系可以任意选择。为了体现这种对等性,人们也把CZ门画成这样:

CZ-2.png

甚至有时候为了方便,还把控制比特选在下面:

CZ-3.png

注意我们事实上是通过真值表来证明这种对等性的。当比特数目很大的时候,这当然不是一种有效的方式。能不能直接从电路本身出发加以简化呢?ZX演算在一定程度上可以做到这一点。

 

利用关系Z=HXH,可以将CZ门用CX门表达:

CZ-4.png

为了把它完全纳入ZX演算,我们需要定义H门的蜘蛛图。上次我们说Z-蛛和X-蛛既然都是复制,可以很容易地推广到任意输入与任意输出端的情形,而一到一的情形则是恒等操作。我们需要做一点推广来纳入任意单比特门。于是我们定义Z-相位门:

Z-phase.png

其效果是沿Z轴转动α角度。类似地,定义X-相位门:

X-phase.png

实现沿X轴的任意转动。有了她们,可以利用欧拉分解得到Bloch球上的任意转动,也就是任意单比特门。特别地,可以得到H门:

H.png

用图形来表示就是

H-2.png

注意我们没有用到沿Y轴的转动,所以H门与通常的定义略有不同。但其功能是相同的,即可实现Z-基与X-基的互换:

H-3.png

Z-相位门与X-相位门满足一些简单的运算规则,以后我们会详加介绍。利用这些规则,可以证明H是幺正的,并且逆就是其自身:

H-4.png

也就是说,两个H门碰到一起就消掉了。还可以证明,H门可以穿过Z-蛛或X-蛛,并改变其颜色:

H-5.png

这里用约等号是因为有可能出现全局相位。这条规则其实也很好理解。因为H门切换Z表象和X表象,因此在三条线上都作用H门可以切换Z-蛛和X-蛛。在输入端再作用一个H门就变成了上图。以上这两条规则具有强大的威力,因为在量子电路中你常常会遇到大量的H门,利用这些规则可以非常直观地加以简化。事实上Nilsen-Chuang书中有不少推导过程和习题可以用H门的穿越和消除来理解。比如,前面提到CZ门可以用CX门表示:

CZ-4.png

转换成蜘蛛图后,可以将H门穿越到中间:

CXZ.png

右图当然是左右对称的。(有一个微妙之处,在上图中我们改用了粗线,代表着我们从态矢量过渡到了密度矩阵,从而消除了相因子。这一点在Coecke和Kissinger的书里很关键,但我们可以暂时忽略。)可以进一步将H门穿越到左边,得到CZ门的另一表示方式。有一点值得注意,量子电路中的控制线通常是机械的,不能作用量子门,那么在上面作用一个H门该如何理解?一种理解方式是将她看成一个二到零的门,根据两端的输入给整个态赋上一个相应的常数。

 

这次就写这么多吧。后面还会讲到,如何利用CZ门的这种表示形式对她进行推广。




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