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柯氏理论：湍流研究中最辉煌的一个成就，然而——
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柯氏理论：湍流研究中最辉煌的一个成就，然而…
《创新话旧》第7章（3）
温景嵩
南开大学 西南村 69楼 1门 401号
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7．7 湍流研究简史
长春实验所发现的湍流不连续性及其对柯尔莫果洛夫理论基础的冲击具有十分重要的意义。因为湍流不仅是流体运动中的一个重大的世纪性的前沿课题，不仅它普遍存在于自然界，也普遍地存在于工程界，它是基础科学中一个重大的前沿分支───20世纪下半叶兴起的非线性科学的先驱和归宿。正由于以上两个原因，所以湍流问题的研究不仅吸引了众多的流体力学家，力学家的兴趣，而且也吸引了众多的数学家，物理学家，大气科学家，甚至包括了众多的工程技术界的专家学者的兴趣，大家都想在这一领域里一显身手。可以说湍流这一领域真正是“江山如此多娇，引无数英雄竞折腰”。自1883年 英国曼彻斯特大学著名流体力学大师雷诺发表他的现代湍流开创性工作以来，一百二十多年里在湍流领域中已积累起浩如烟海的文献，发表了成百上千种的学说和理论，尽管如此，由于湍流这一课题固有的十分严重的困难，一百二十多年的众多科学家的奋斗结果，真正成功的理论并不多，算起来也就四个。
7．7．1 普朗托的半经验混合长理论
第一个是1925年普朗托发表的半经验混合长理论，以及由此而导出的平板平均流速与所在高度的对数成正比的对数分布律。（冯卡尔曼 1930，普朗托1933）这个对数分布律已由大量实验所证明。在工程上有很好的应用，可以用以计算平板表面所受的摩擦阻力，经过推广后，现在还可以用以计算飞船模型表面所受摩擦阻力。应该承认普朗托的半经验混合长理论解决了工程应用上的一大难题。后来前苏联学者莫宁（Monin）和奥布霍夫又把它成功地推广到近地面边界层大气风速的分布问题中去， 为解决大气物理中的大气扩散等难题开辟了道路。然而普朗托的混合长理论并不是在工程应用中产生，也不是在大气中应用产生，也不是由实验带出来的结果。相反，它是在解决湍流这一学科发展中所面对的难题而产生的。它产生了以后，才有了工程的应用，才有了在大气中的应用，并且也才有了实验的证实。普朗托的半经验混合长理论是为解决雷诺方程的不闭合难题而创造出。1895年，也就是雷诺用实验证明湍流发生规律工作后的十二年，同样是由他研制成著名的雷诺方程。该方程从支配粘性流体运动的基本方程──纳维-斯托克斯方程出发，然后把瞬时流场分解为平均流场和湍流脉动速度流场的和，把这个和式代入到纳维-斯托克斯方程再取平均就形成了雷诺方程，这是一个支配湍流场中平均流场变化的方程，不幸方程不闭合。因为除了待求的平均流场外，又多了一个未知数，即同一点上湍流脉动速度的两个分量相关矩，它具有应力的量纲，又叫雷诺应力。它表征了湍流脉动场对平均场的影响，相关矩肯定不为0，即雷诺应力不是0。否则有湍流发生后的平均流场分布规律就应和没有湍流发生时的层流流场规律相同。而实验已证实，两者确实不同，这就证实湍流场的雷诺应力对平均场确有重要影响。可惜这是未知的。于是一个雷诺方程无法同时解出平均场和雷诺应力两个未知数，形成湍流研究中著名的不闭合难题，这个难题是由纳维-斯托克斯的非线性，以及湍流特有的随机性，在对方程求取平均值过程中必然产生。所以是湍流研究中固有的一个难点。用同样的雷诺方法，原则上可以求出湍流脉动速度两个分量相关矩的方程，这样方程就多了一个，此时和原来的雷诺方程一起现在有了两个方程，两个未知数，似乎可以闭合，其实不然。从纳维-斯托克斯方程的非线性特点，可以断定在建立两个分量的二阶相关矩方程时，必然又会增加一个新的未知的三阶相关矩，方程仍然不闭合，依此类推，若建立三阶相关矩方程，则同样还会多出一个未知的四阶相关矩，可以断言，沿着这条路线下去，未知数永远要比方程多一个，方程不可能闭合。这样下去，湍流问题就无法严格在数学上求解。雷诺方程建立后又过了三十年，即1925年由普朗托用混合长理论解决了这个难题。 他的解决办法就是用物理模型方法来切断雷诺方程在数学上的不封闭链条，在雷诺方程那里就打住，引入混合长的物理模型，使雷诺方程中的雷诺应力和平均流场的梯度联系起来，从而化解掉未知的雷诺应力，使雷诺方程封闭。普朗托的混合长物理模型是借助分子运动论中的分子自由路径的物理模型而得来。在粘性流体运动论中也曾出现过方程不闭合问题，在支配粘性流体运动方程中多了一个分子无规运动速度的两个分量的相关矩，分子运动论则用分子的自由路径物理模型使方程闭合，这一模型认定，当一个分子从某高度出发时它带有这一高度上流场的平均动量，然后在自由路径过程中，此动量维持不变，当自由路径结束时，该分子与另一分子相碰撞，碰撞后就从新的环境中吸取了新环境中的动量，而与新环境中的平均动量一致，根据这一模型，分子运动论就能把原来的分子无规运动和流场的速度梯度联系起来，从而使粘性流体运动方程封闭。现在，普朗托的混合长理论，则把湍涡认定为分子一样的东西，只不过在分子运动论中的分子自由路径，普朗托用湍涡的混合长来代替。当一个湍涡从某一高度出发时，它带有那个高度的平均流场的平均动量，然后在混合过程中，此动量也保持不变，当走完一个混合长以后，该湍涡突然与四周新环境混合起来，从新环境中吸取了新的动量，从而使它的动量与新环境中的动量一致，这样普朗托就能把湍涡的湍流无规的脉动速度和平均流场的平均速度梯度联系在一起，从而使雷诺方程闭合。现在当我们讲普朗托的理论时，会觉得这是一个很简单很容易的事，可当时为走这一步，却花了人们三十年时间。看来，对基本理论的前进步伐，人们不能过分着急。
事情到此还没有完结，因为此时未知的雷诺应力虽然化解掉了，但又多出一个混合长未知数需要确定其计算的方法。这是再过了五年之后，到了1930年才由普朗托的学生冯卡尔曼提出一个相似理论来解决混合长的计算问题，然而这个方法比较复杂，再过三年，到了1933年才由普朗托本人提出一种比较简单，比较直观的方法来确定混合长，就是直接假定湍涡的混合长和距离物体表面的距离成正比，比例系数则由实验确定。这很容易被接受，距离物体表面越近，则湍涡的活动应该越受限制，混合长应该比较小。反之混合长确应比较大，正比关系应是最好的一个选择，至于比例系数当然不可能从理论上确定，只可由实验定出来。这是物理模型方法不可避免地要有的缺点。不像本书前面几章气溶胶力学部分，那里低雷诺数线性化的流体力学问题，可以严格求解，所以那几章中的系数都是从严格的理论计算出，例如巴切勒单分散阻滞沉降公式中的系数－6.55就是从严格的理论导出。当然它也需要用实验来检验，但那已是另外的问题了。
普朗托具有深刻的物理洞察力，善于依靠简单的物理直观来解决复杂的数学问题，这里是一个很成功的一个例子。把普朗托关于混合长的理论应用到一种最简单的平面平板流动，就可得出著名的平均流场的对数分布律，而后来的实验也证实了确实存在这种对数分布律。且测出那个比例系数是0.4，文献中把它命名为卡尔曼常数。于是普朗托理论最终得到大家的承认。这理论叫半经验混合长理论的道理也在这里。它是否合理，是否可以接受，要靠实验决定。
7．7．
湍流的统计理论奠基人是G.I.泰勒，即巴切勒的老师。他对混合长的物理模型有看法，他认为分子在两次碰撞之间，在自由路径之内，动量不会发生改变，只有在和另一个分子相撞后动量才会突然改变，这种物理模型可以接受。但湍涡与分子根本不同，湍涡在运动过程中，与四周湍涡不可能不发生相互作用，而认为只是在走完一个混合长以后，才突然与四周环境混合，这种物理模型，在G.I.泰勒严谨的思想里无法接受。他认为恰恰与之相反，湍涡在运动过程中，会不断与四周湍涡相互作用，因而它所携带的动量就会不断地连续地发生变化。因此决不可以用混合长的模型来封闭雷诺应力，来使湍流脉动速度的相关矩与平均场梯度联系起来。1921年G.I.泰勒把他这种连续变化的思想应用在湍流扩散问题上，在计算扩散过程中所遇到的，追踪个别湍涡不同时刻的脉动速度相关矩问题上，他排除了混合长的做法，而采取自然的连续变化的假设。于是在时间间隔小于相关时间时，他得到了扩散物质的弥散度与时间的平方成正比的关系。在时间间隔大远于相关时间时，他得到了扩散物质的弥散度与时间的一次方成正比的规律。但中间过程，弥散度如何变化，G.I.泰勒并未得到，只是由他当时所得到的结论断言，中间过程的弥散度随时间变化，将逐渐地由扩散时间的两次方关系降低到一次方关系。
第二个在统计理论上做出重要贡献的是1924年凯勒（Keller）和弗里德曼（ Friedman）的工作。他们意图按照雷诺方程的方向，把空间两点湍涡脉动速度相关矩的方程写出来，如果这个相关矩方程可解，那么令两点距离缩短为0，重合成一个点时，这个相关矩就是原来雷诺方程中所多出的雷诺应力，雷诺方程就封闭了。然而这是一个不成功的工作，其原因之一是我们前面讲的，必然仍会产生不闭合问题。不仅如此，凯勒和弗里德曼的工作还揭示出湍流研究中第二个严重困难，就是湍流场乃是一个空间三维的向量场，它无法像层流研究中，利用空间某种对称性把三维向量问题化为两维问题，或轴对称问题，湍流不具备空间对称性，它是一个无法简化的三维问题。于是对这种三维向量，写出其两点二阶相关矩时就成为一个具有九个分量的二阶张量，当写出其两点三阶相关矩时就有18个相互独立分量的三阶张量，两者相加，共有27个分量要求出其解答。这是一个庞杂的体系，人虽为万物之灵，但面对这个具有27个未知数的方程，仍然束手无策。凯勒和弗里德曼的工作也只能就此打住，这确是个不成功的工作。虽然如此，这工作在湍流研究历史上仍具有重要意义，是在浩如烟海的湍流文献中值得一提的重要文献。因为它发现了湍流研究中第二个需要面对的严重困难──三维向量困难，从此人们才会把努力的目标吸引过来，问题才有可能解决。
由于三维问题困难的艰巨性，只是在凯勒和弗里德曼1924年工作之后的十一年，才由G.I.泰勒提出了一个解决方案。1935年G.I.泰勒提出在众多湍流中，我们暂时可仅仅研究一种特殊的湍流，即均匀各向同性湍流。G.I.泰勒证明对于这种特殊的湍流，它可化解三维难题，所谓均匀各向同性的湍流，意思是在这种湍流场中，由n个位置向量组成的n点空间构形，当此构形在空间中做平移，旋转，以及镜反射时，它的n点相关矩都不改变。这种湍流就叫均匀各向同性湍流。泰勒还证明了对于这种特殊的湍流，连同不可压缩特性在一起，它的空间两点二阶矩中的9个分量就都不是相互独立的，而仅仅决定于一个纵向两点二阶相关矩。（即两点的速度分别向两点连线做投影后的速度分量相关矩），同时，它的两点三阶相关矩中的18个分量也不是相互独立的，而仅仅决定于一个纵向两点三阶相关矩。于是未知数一下子从27个简化成两个。这反映出均匀各向同性湍流在化解三维难题上的强大功能。G.I.泰勒就这样以他1921和1935年的两个工作，奠定了湍流统计理论向前发展的基础。
7．7．3 卡尔曼-霍沃思方程（Kármán -Howarth）
泰勒的工作意义也仅仅在于他奠定了统计理论的基础，然而由于问题的艰巨性，他并没有完成这个理论，真正完成这个理论是他后来的工作。一是本节将要提到的冯卡尔曼的工作，一个是下一节将要提到的柯尔莫果洛夫的工作。
在泰勒1935年 关于均匀各向同性湍流可化解三维难题的工作以后，又过了三年，冯卡尔曼和他的合作者霍沃思在1938年终于得到了支配均匀各向同性湍流微结构变化的方程。这就是著名的卡尔曼-霍沃思方程。冯卡尔曼仍然沿着1924年凯勒和弗里德曼的方向走下去，不过他们在这时引入了泰勒的均匀各向同性概念加以简化。结果他们就由纳维-斯托克斯方程得到了描写均匀各向同性湍流中空间两点纵向速度二阶相关矩方程，这方程就以他们两人的名字命名，方程中又多了一个三阶纵向速度相关矩。虽然他们比凯勒和弗里德曼的27个分量少25个，但方程仍不闭合，无法求解。然而，这两个相关矩却可以实验方法测出，测量结果证明卡尔曼-霍沃思方程是正确的。卡尔曼-霍沃思方程由纳维-斯托克斯方程导出，所以这同时证明了纳维-斯托克斯方程不仅是支配层流运动的基本方程，而且也是支配湍流运动的基本方程。一切成功的湍流理论也仍必须以纳维-斯托克斯方程为出发点。
卡尔曼-霍沃思方程虽然仍不闭合，无法求出其严格解，但在近似条件下，却可以从中导出湍能衰变的规律，这可不是由冯卡尔曼求出，而是在一年以后，由两位前苏联学者得到。1939年前苏联学者罗强斯基（Loitzianski）由卡尔曼-霍沃思方程出发导出了一个不变量，这是在均匀各向同性湍流发展过程中，不会随时间改变的特征量，尽管湍能会随时间发展而不断衰变下去。同一年，仍是前苏联学者密里昂什奇可夫（Millionshchikov）利用罗强斯基不变量，和卡尔曼-霍沃思方程在湍流发展晚期的近似形式，（此时，可忽略湍流的两点三阶纵向相关矩使方程闭合），导出了湍流发展晚期的湍能衰变率，即湍能将以时间的－5/2次方衰变下去。另一方面，在湍流发展的早期阶段，此时卡尔曼-霍沃思方程中的粘性项可忽略，方程同样可以闭合。因此也可导出在早期阶段湍能会以时间的－10/7次方规律衰减。 在中间发展阶段，G.I.泰勒又由实验总结出一个湍能按时间的－2次方衰变规律于是人们就得到了一个湍能由早期的时间的－10/7次衰变,中间经过-2次方衰变,一直到晚期以时间的-5/2次衰变这样一个比较完整的湍能衰变规律，是一个衰减速度逐步加快的衰变律。
由卡尔曼-霍沃思方程导出的湍能衰变律已经得到实验证实。这同时也就证明了湍流的耗散性质。湍流是一耗散系统，它的存在需要能量补充，否则经过一定时间后湍流就会衰变为层流，这一点也已经有实验证实。如此就揭示出湍流研究中第三个难点──湍流的非微扰性质。尽管从1883年雷诺实验以来，人们就知道，湍流是一个高度非线性系统，它的产生只有在雷诺数充分大，大到了超过临界值以后才会发生。但它却不能按一般微扰理论那样处理，作为一级近似，把弱的分子粘性忽略掉。因为分子粘性正是使湍能耗散为热能的根源，若把它忽略了，也就无法解释湍能的耗散性质。甚至湍流也不能按奇异扰动理论处理，在奇异扰动中，分子粘性在边界层中不能忽略，而在湍流问题中，分子粘性不但在边界层中不可忽略，而且它处处都不可忽略。因此，这给数值计算湍流问题提出一大难题。即当人们从纳维-斯托克斯方程来直接计算湍流问题时，空间网格的划分要一直小到分子粘性尺度，而外尺度又和平均流场的变化相当。于是人们发现这不但对于现时最大的计算机不可能，而且对下一代计算机也不可能。湍流的非微扰性质就成为研究湍流时遇到的第三大难题。
7．7．4 柯尔莫果洛夫局地各向同性湍流理论
均匀各向同性理论在化解三维难点时，显示出强有力的功能，但也有明显的缺点。即，一般在自然界和工程领域中的湍流均为非均匀各向同性。严格地讲，现在在实验室风洞栅网后面所形成的湍流也不是均匀各向同性，因为它的平均流速不为0。第二个缺点是从均匀各向同性湍流中仅仅得到湍能衰变律，而无法得到湍流研究中最重要的一个物理量──湍流微结构（包括相关矩，湍谱等）。而这些问题，则是由前苏联学者柯尔莫果洛夫1941年的工作所解决。
柯尔莫果洛夫是一位极善于吸取前人工作中合理内核而加以创造性发展的，创新能力极强的大科学家。它吸取了G.I.泰勒和冯卡尔曼均匀各向同性理论的合理内核，而摒弃了他们理论中的绝对性。在柯尔莫果洛夫的思想里，一般自然界和工程领域中湍流的非均匀各向同性特点主要是由大尺度湍涡带来，大尺度的湍涡能量取自外界自然会带有非均匀各向同性特征。然而柯尔莫果洛夫认为，小湍涡与此不同，它们却可能是均匀各向同性的。问题是要怎样进行统计，才能排除掉非均匀各向同性的大涡的影响，而只显示小涡的均匀各向同性统计性质。对此，柯尔莫果洛夫做出一个非常大胆的创新，他建议放弃一般在随机过程、随机场理论中常用的相关矩的统计方法，因为在相关矩中要计算的是空间两点湍流速度乘积的平均值，而由福里埃（Fourier）分析可知，空间每点的湍流速度都是所有尺度湍涡速度合成的结果。既包括了均匀各向同性的小尺度湍涡，又包括了非均匀各向同性的大尺度湍涡。因此，常用的相关矩的统计方法必须排除，作为替代物，柯尔莫果洛夫提出了一个他自己独创的结构函数统计方法。所谓结构函数，按柯尔莫果洛夫的定义，就是指空间两点湍流速度差的平方平均值。柯尔莫果洛夫合理地假定，空间两点速度差反映了尺度小于空间两点距离的湍涡的影响，这个速度差值，自然就把尺度大于空间两点距离的湍涡作用排除在外。因此，柯尔莫果洛夫认为当空间两点距离足够小时，从这两点速度差计算出来的结构函数就会均匀各向同性。与G.I.泰勒和冯卡尔曼均匀各向同性不同，柯尔莫果洛夫管他的这个小尺度均匀各向同性叫局地均匀各向同性。
第二个接着而来的问题是要怎样做才能找到结构函数的规律，在这里柯尔莫果洛夫也做了一个非常大胆的创新。既然雷诺在1895年从纳维-斯托克斯方程导出其雷诺方程时，以及1938年 冯卡尔曼在由纳维-斯托克斯方程导出他们的卡尔曼-霍沃思方程时，都发现了方程不封闭，未知数永远比方程数多一个，无法从数学上求出其严格解。那么柯尔莫果洛夫就干脆建议，放弃从纳维-斯托克斯方程导出其结构函数方程的方法，因为可以断定 那必然也会导致方程不闭合。同样无法求出其严格解。这时，柯尔莫果洛夫转而提出了一个非常独具特色的新方法──量纲分析法。这是一个在物理学中常用的方法，然而把它应用到流体力学上来解决湍流这样一个世纪难题，柯尔莫果洛夫却是第一人。这个方法在数学上十分简单，只需要初等数学技巧就可以解决问题。问题是要找出决定这个过程性质的主要物理因子，这要靠敏锐的物理洞察力。柯尔莫果洛夫是个大数学家，当代概率论的一代大师，但他解决湍流这个难题时用的却不是高超的数学技巧，而是靠了他物理上深刻的洞察力，以及为湍流塑造一个合理的物理模型的高超能力，这真让人叹为观止。柯尔莫果洛夫为湍流所塑造的物理模型，就是本书在第一章，以及本章7.6节中提到的湍流能量从大尺度湍涡逐级连续地输送到小尺度湍涡的能量连续流，这个湍能在尺度谱上的流动，一直到最小的内尺度，由分子粘性把它们耗散为热能。以上这个思想最早也不是柯尔莫果洛夫独创的，它是由英国著名气象学家，数值天气预报的奠基人理查森（Richardson）提出来，1922年，理查森写了一首小诗，表达了他这个思想：
大涡用动能哺育小涡，
小涡照此把儿女养活，
能量沿代代旋涡转递，
但终于耗散在粘滞里。
（以上小诗引自胡非所著《湍流、间歇性与大气边界层》一书，1995，科学出版社）。本书把这种能量输送过程叫做能量跨越尺度空间（或跨越波数空间）的能量流，在一般正规的湍流文献中则把它叫做湍能的级串过程（cascade）。
柯尔莫果洛夫不是简单地接受理查森这个级串思想，而是创造性地把它加以发展，这样才可使这级串思想服务于柯尔莫果洛夫用量纲分析法来寻找结构函数的规律性。此时，柯尔莫果洛夫认定湍能级串过程是一个连续输送过程，这样才会使大涡从外界得到的非均匀各向同性，在一代代、一级级地往小尺度湍涡输送过程中被消磨掉，最后可以得到均匀各向同性的小涡。才可以实现局地的均匀各向同性。第二柯尔莫果洛夫还认为，这种能量输送最终总是可以达到统计平衡。于是，在尺度谱中的湍能通量流，即等于湍能在内尺度上的耗散率e。它是一个不随时间，不随尺度而变化的常数。因此，柯尔莫果洛夫就从这个物理模型中得到了唯一决定惯性子区间湍涡统计结构的物理因子──湍能耗散率e。从此出发，人们用量纲分析法就不难得到小尺度湍涡结构函数的2/3 定律， 以及一维湍谱或标量场湍谱的－5/3定律。当然,其中包含了一个待定的系数,只能用实验方法来测定。这和前面在
7．7．5 柯尔莫果洛夫理论的意义与问题
前面四小节讲的20世纪中湍流研究的四大成就，其中尤以柯尔莫果洛夫的理论为最。它是湍流在20世纪中最为辉煌的一个成果。湍流研究中最核心的一个问题，就是湍流微结构的规律性问题。这个问题在普朗托的半经验混合长理论中没有解决，泰勒和卡尔曼的均匀各向同性统计理论也没有解决。不但理论上没有解决，而且实验科学家也没有从实验上解决这个问题。也就是在1941年 柯尔莫果洛夫创立他的2/3定律之前,世界上没有一个人知道湍流的微结构究竟是什么样子。只是在他的理论创立之后,从50年代开始才陆续有实验证实湍流的微结构确如柯尔莫果洛夫和奥布霍夫所预言,其结构函数服从2/3定律,一维湍谱服从－5/3定律。而由柯尔莫果洛夫湍流微结构理论所导出的烟团扩散理论，以及各种光波、声波、电磁波的传播理论也相继得到实验证实。这一切就都说明了湍流微结构确是湍流研究中最核心的一个问题，而柯尔莫果洛夫理论则确是20世纪中最具里程碑意义的划时代成就。
正是基于上述对柯尔莫果洛夫理论在湍流研究历史上重要地位的认识，才使我对1972年长春实验所发现的湍流的不连续性的重要意义，有深切感受。湍流的不连续性的发现击中了这个划时代成就的要害，冲毁了它赖以存在的物理基础。另一方面使人感到有趣的事是长春实验同样也证实了柯尔莫果洛夫和奥布霍夫理论预测的一维－5/3湍谱的正确性。基础虽不对，但它预测出的规律却是对的。世界上的事情就是如此奇妙，
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