引言

在微观世界中，具有一些奇异的性质。当一个粒子的位置确定后，它的动量就不具有确定的值，如果动量值确定了则位置不确定。又比如，当一个粒子的自旋在x方向的投影确定后，y方向的投影就不再确定。

按照排中律，﹁p∨p是永远为真的，比如粒子的动量大于10或者粒子的动量不大于10，这个命题是永远正确的。但在量子力学中，如果粒子的位置确定了，这命题就不再为真，因为谈论它的动量没有意义。就如同说这块石头很开心没有意义一样。

所以我们需要新的逻辑。除了真（T）和假（F）外，引入一个新的真值，不确定（I），用来处理那些特殊的情况。

真值表

    ﹁A是直接否定，它将T和F对调，而I保持不变。~A是循环否定，它真值的下一个值，但最低的真值F例外，它被改为最高值T。!A是完全否定，它把真值改为其他两个值中的较高者。

   合取式的真值是合取支中真值的较低者，析取式的真值是析取支中真值的较高中。

等值式的要求：1、当A和B的真值相同时，等值式取真值；2、A和B的关系是对称的，即如果A等值于B，则B等值于A。

蕴涵式的要求：1、分离规则成立，即A真，且A蕴涵B为真，则B真。2、若A真而B假，则蕴涵式假。前两个条件合取式也满足，所以有第三个条件：3、不能从A蕴涵B推出B，这使得蕴涵式弱于合取式。4、A蕴涵A是重言式。5、A和B的关系是不对称的，即不能从A蕴涵B推出B蕴涵A，否则蕴涵式就变成等值式。

⊃是标准蕴涵式，它的真值取遍全部三个值。→是二中择一蕴涵式，它的值只能是T或F。↣是准蕴涵式。标准蕴涵式和二中择一蕴涵式满足全部五个条件，而准蕴涵式不满足第三和第四个条件。

重言式

1、A↔A （同一律）

2、A↔﹁A  （双重否定律）

3、!A↔!!!A  （双重否定律）

4、A↔~~~A   （三重否定律）

5、!A↔~A∨~~A    （循环否定与完全否定的关系）

6、A∨~A∨~~A    （排四律）

7、A∨!A  （假排中律）

8、﹁(A∧﹁A)  （矛盾律）

9、﹁(A∧~A)  （矛盾律）

10、﹁(A∧!A) （矛盾律）

11、﹁(A∧B) ↔(﹁A∨﹁B) （德摩根律）

12、﹁(A∨B) ↔(﹁A∧﹁B) （德摩根律）

13、A∧(B∨C) ↔ (A∧B)∨(A∧C)  （分配律）

14、A∨(B∧C) ↔ (A∨B)∧(A∨C)  （分配律）

15、(﹁A⊃B) ↔(﹁B⊃A)  （调位律）

16、(A⊃B) ↔(﹁B⊃﹁A)  （调位律）

17、(!A⊃B) ↔(!B⊃A)  （调位律）

18、(A↔B) ↔( A⊃B∧B⊃A)    （等值式分解）

19、(A≡B)≡(A⇆B)∧(﹁A⇆﹁B)  （等值式分解）

20、(A→B) ↔~﹁(!A∨B)   （蕴涵式分解）

21、(A⊃!A)⊃!A   （归谬法）

22、(A→!A)→!A  （归谬法）

真假二值式

        以下的式子只能取真假二值

       1、~~(~A∨~~A)   （A可以取任意三种真值）

2、~A   （A只能取真值I和F）

3、~~A   （A只能取真值T和I）

应用

1、A是不确定的，用下式表示：

~~A

（断定~~A，相当于说~~A是真的，这样A的真值一定是I）

2、互补关系

A和B是互补的，A和B不能同时具有真值。

A∨~A→~~B

从上式可推出：

B∨~B→~~A

互补关系是对称的，当A和B互补时，B也和A互补。

(A∨~A→~~B)→!( A∧B)

它表示A和B是互补时，A和B不能同真。

3、双缝实验

(1)、A1→﹁A2

(2)、﹁A1→﹁A2，

(3)、A2→﹁A1，

(4)、﹁A2→A1，  

(5)、(A1∨A2) ⊃B

A1、A2可分别理解为粒子通过第一条缝和第二条缝，B理解为屏幕上不出现干涉条纹。

在经典逻辑中，从(1)(2)(3)(4)可推出A1∨A2为真，即推出A1∨A2，再加上(5)推出B。

但在三值逻辑中，无法推出A1∨A2。当A1和A2都取真值I时，(1)(2)(3)(4)都为真。A1∨A2取值为I。这时(5)式为真，无法推出B，因为这时B的值可能是T，也可能是I。（这里似乎有问题，因为在实验中出现干涉条纹，表明B的值是F，而按刚才的推理，B的取值只能是T或I。）

4、观测语言

观测语言中也会出现第三值的情况。比如p和q这两个量是互补的。当进行测量m_p时，得到的值是p1。当进行测量m_q时，得到的值是q1。这两个命题其中一个取真值T或F时，另一个就取值为I。

那这两个命题如何用符号表示呢？当进行测量m_p时，得到的值是p1。即m_p蕴涵p1。m_p只能是真或假。所以这个蕴涵不能是二值逻辑的实质蕴涵，因为实质蕴涵当m_p为假时，整个蕴涵式为真。它也不可能是标准蕴涵和二中择一蕴涵，因为当前后件只能取真或假是，这两个蕴涵和实质蕴涵是一样的。

       m_p蕴涵p1，应表示为m_p↣p1，当m_p取值为F时，整个蕴涵式的值是I。