【开篇语】

微分概念在整个微积分体系中占有重要地位。理解微分概念是微积分教育的重要环节。在历史上，微分的定义经历了很长时间的发展。牛顿、莱布尼兹是微积分的主要创建人，他们的微积分可以称为第一代微积分，第一代微积分的方法是没有问题的，而且获得了巨大的成功，但是对微分的定义（即微分的本质到底是什么）的说明不够清楚；以柯西、维尔斯特拉斯等为代表的数学家在极限理论的基础上建立了微积分原理，可以称之为第二代微积分，并构成当前教学中微积分教材的主要内容。第二代微积分与第一代微积分在具体计算方法上基本相同，第二代微积分表面上解决了微分定义的说明，但是概念和推理繁琐迂回。

当前，围绕微分定义问题，国内外学术界已经开始形成一些讨论，参与者从科学院院士，中青年数学工作者，以致在读博士硕士，当然也包括一些毫无话语权的“N无数学家”。但真理面前人人平等，只要我们抱着持之有故言之成理的科学态度，相信会引发深刻的思考。

为了使得微分定义的讨论更加深入，并且有充足的养料支撑，有必要将古今中外现行微积分学术著作中的微分定义详细调查。从今天起，我将在我所搜集整理的微积分定义逐次摘录在网上，方便大家讨论。在摘录的同时，将做一些简单的讨论。

               【哈尔滨工业大学】

1、

定义  若函数$y=f(x)$在$U\left( {{x}_{0}} \right)$有定义，在${{x}_{0}}$点处的增量

$\Delta y=f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)$

与自变量增量$\Delta x$之间存在关系

$\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$

其中$A$是不依赖于$\Delta x$的常数，则称$f\left( x \right)$在${{x}_{0}}$点可微，$A\Delta x$称为函数$f\left( x \right)$在${{x}_{0}}$点的微分，记作

${{\left. dy \right|}_{x={{x}_{0}}}}=A\Delta x$ 或 ${{\left. df\left( x \right) \right|}_{x={{x}_{0}}}}=A\Delta x$

若函数$y=f(x)$在区间$I$上处处可微，称$y=f(x)$在$I$上可微，它在区间$I$上任意一点$x$处的微分为

$dy={{f}^{'}}(x)\Delta x$

特别地$y=x$时                     $dy=dx=1\cdot \Delta x$

即                                   $dx=\Delta x$

这说明自变量的微分与其增量相等，因此函数$y=f(x)$的微分$dy={{f}^{'}}(x)\Delta x$通常写成

$dy={f}'\left( x \right)dx$

参考文献：

[1] 哈尔滨工业大学数学系分析教研室.工科数学分析[M].高等教育出版社.2000.69.

2、

定义  如果$y=f\left( x \right)$在${{x}_{0}}$的$\delta $领域内有定义，而函数$y=f\left( x \right)$在$x{}_{0}$处的增量可表为

$\Delta y=A\Delta x+\Delta x\cdot \varepsilon \left( \Delta x \right)$

其中，$A=A\left( {{x}_{0}} \right)$不依赖于$\Delta x$，而当$\Delta x\to 0$时，$\varepsilon \left( \Delta x \right)\to 0$，则称函数$y=f\left( x \right)$在${{x}_{0}}$处是可微的，称$A\Delta x$是$f\left( x \right)$在$_{{}}$${{x}_{0}}$处的微分，记为$df\left( {{x}_{0}} \right)$或$dy$。

因此

$\Delta y=dy+o\left( \Delta x \right),\Delta x\to 0$

其中

$dy=A\bullet \Delta x$

通常把$\Delta x$记作$dx$且称它为自变量微分，所以因变量微分可以写为

$dy={f}'\left( {{x}_{0}} \right)dx$

参考文献：

[1] 孙振绮.工科数学分析教程上册（第三版）[M]. 北京：机械工业出版社.2015.09.134-135.