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Zmn-0197 沈卫国：简评薛问天先生对自变量微分的评论

已有 1455 次阅读 2020-5-12 12:42 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0197 沈卫国：简评薛问天先生对自变量微分的评论

【编者按。下面是沈卫国先生发来的文章。是对《Zmn-0195》薛问天先生的文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

简评薛问天先生对自变量微分的评论

沈卫国

罗素说；“那些教我无穷小分析的老师找不出有说服力的论据来证明微积分的基本概念，就只好说服我充满信心地去接受那些公认的诡辩。”（引自克莱因“数学：确定性的丧失”）

薛先生与师教民先生的论辩，我认为无须过多介入具体的谈。实际其要点还是究竟自变量的微分究竟是不是应该单独定义成增量的问题。也就是同一个函数变量，是不是应该有两个微分的身份，而竟可以用同一个符号表示的问题。我没有见过任何一本教科书。在文末符号表中，有一个符号，就比如dx，有这样的描述“此符号有两意，一意为。。。。。。，一意为。。。。。。。，读者看书时请务必注意，请根据上下文自行分辨。考试时认错了，答错了，自行负责。”呵呵。有这类符号说明表吗？如有，学生甚至教授都得骂死作者！一本书，一篇文章，一个符号就得老老实实地给我表示一个意思。没有任何可以商量的余地。没做到，就是不严格。违反数学的严格性要求。就不是一般及格的教材。没得商量。任何诡辩也没用！不信你去问任何一个够格的院士、教授、老师、研究生、大学生、中学生、甚至小学生看看。“数学家”不是老吹数学最严格吗？这会儿怎么啦？结果别人提出来了，还是人家不懂，没有明白这个dx是两个意思，自己去分辨云云。这是典型的不讲理。数学、逻辑大家莫绍揆先生，八十年代初就有文章提出这个问题，而且认为“肯定有问题”。薛先生是看过此文的。我指出来，薛先生还说我拿权威压他。好像还有梁赞臣。现在我把罗素也搬出来了。美国普利斯顿教材和王元，方源教材（显然是抄的美国的），对这个问题也只是说“一般情况够用了”云云，没有深究，等于回避了。猜想在国外，也是有人提出了质疑的。所以他们才会这么说。

有人还说什么，就算没有微分，微积分也照样可以建立云云。这也许不错。但他们既然知道可以如此，为什么不改教程？为什么不上书教育部改这个不通的教程，全部取消微分这个说法？不是可以不用吗？你改呀？改个试试呀？不吭声了（不是指薛先生）。但反倒以此说提问题的人不对“人家说自变量微分有问题。他说没微分也行。也就是微分有问题也没问题。也就是微分是多此一举的。没用的。对吧？我们没理解错吧？但又不改教程，还说人家提意见的不对。成什么逻辑？

但这些人大多有个好处，就是一看也说不出什么像样的反驳意见，就都不吭声了，玩儿高深，给人以“此类小儿科的东西，不值得一驳”的假相。（其实他是驳不了），简单，小儿科，就是很好驳，为什么不驳？莫绍揆也不值得驳啦？

薛先生自己也是明白的，一个符号表示两个东西，起码是很不方便。我让他把以前讨论文章中的什么de+之类的+去掉，就用一个dx，重新写同样的文章试试看。他也明白无法写。所有这次又说什么其实教课书说也是两个方案的，一个是dy，一个是df(x)，看你学生愿意选哪个云云。这里是无厘头的说法。因为谁都知道，而且书上就是这么写的y=f(x)，二者一回事。你书上没有区分，没有只写f(x)而不写y，人家怎么知道你什么意思？而且哪本教课书上有薛先生这样的话，说是函数的微分写df(x)，自变量的微分才可以写dy？有吗？请薛先生指出来。或你上书教育部以后教程按你薛先生的意思改。但无论如何，薛先生也没有理由否定人家师教民提出这个问题。人家的意思就是一个符号，不能也不应该表示两个东西。人家没有说错什么。结果薛先生反而怪人家没弄清这一个符号表示了不同的东西。这不胡闹吗？

自变量的微分，按现在的定义，规定，是其增量，而不是线性主部。也就是dx=Dx。（这里代替大写的代尔塔）。二者是一回事，用等号相连。我请问薛先生，既然是一回事，为什么自变量的微分干脆就写Dx还好区分（你不是说的与函数的微分不同吗，那好，区分开这个不同不是更好？），为什么非写不好区分的、容易混淆的dx而不写好区分的、明确的Dx？薛先生想过没有？为什么不写dy/Dx，非写dy/dx？不取不会混淆的，非取很易混淆的，何故？（还不让人提）实际就是为了凑那个莱布尼兹的dy/dx 嘛。方便嘛。实际更合理嘛。比如，我们一般有(dy/dx)(dx/dt)=dy/dt，中间的dx是可以消去的。如果硬要写成（dy/Dx)(dx/Dt)，有什么理由消去dx与Dx？还方便吗？还有道理这么做吗？按第二代微积分的极限法，导数是个完整的数，而不是分数。是个整体。因此严格讲不能写成dy/dx，这么写是依照第一代微积分的习惯。不严格。也就是这不是个分式，不能像分式那么使分子分母分家的进行运算。但这样运算又是极其方便的，因此偷梁换柱，悄悄的把莱布尼兹的微分又偷换回来了。以为了方便。也顾不了其它的了。正如大数学家克朗在其“数学是什么“一书中所言。微分不光彩地被抛弃了，但这里又从后门悄悄地又进来了。。。。。。。”为什么？方便合理嘛。其实，没有莱布尼兹、牛顿那一套所谓第一代微积分是不行的，寸步难行。理论会很繁杂，而且根本就不对。这正反映了所谓第二代微积分极限法标准分析不行的地方。它内部是充满矛盾的。自变量的微分暴露的问题，只是它问题最明显的地方。真正的问题在导数。标准分析说，函数的微分dy与自变量的微分dx都是宏观量，不是无穷小也不是极限。因此，由dy=f(x)dx，把dx移项，得到dy/dx=f(x)（这里表示导数，那个一撇不好打），即导数等于dy/dx。注意，这里的dy与dx，可都是宏观量了。也就是费了半天由什么求极限求得的导数，不能分为分子分母的导数（如果一旦有分母，分母不是为0吗？所有极限是根本不敢说有分母的），此时通过“不微”的微分，变成了两个宏观量之比。它的数值，与原先那个由极限费劲求出的导数一样。这在教课书中，都是这么处理的。好，既然都得到导数起码在数值上等于两个宏观量的比，那何不索性就直接把导数定义成两个宏观量之比？何不费劲巴拉地用极限求那个不伦不类的，不可达到的，什么极限？两个宏观量之比。直接定义。也直接求得。如何求？牛顿、莱布尼兹早就这么求出来了。只不过由于对分子分母的约分的真意没有领会清楚，因此他们没有意识到他们实际求出的，就是这个“两个宏观量之比”。在我的论文中，早就指出此点了。也就是经过约分，分母实际是等于1的，而不是没有分母。等于1，还有趋于0什么事？明明是等于1嘛！非要“趋于”，也是趋于1好吗？明明分母等于1，却非说趋于0。趋于0能得到1？

我对牛顿、莱布尼兹求导（所谓第一代微积分）的诠释，极其简单干脆，容不得什么人再诡辩。谁诡辩谁露怯。不信就试试看。而且对微积分的理解，大为简化，教材可以短得多，好理解的多。极限、无穷小都可以在定义时不要。在积分时，无穷小还是可以有。但不是必须的。这样主动的多。现有积分实际也有问题，不过更其隐蔽罢了。导数，就是曲线某点的真正的切线斜率。分子分母都是宏观量的斜率，不是原先那个什么不可达极限，不过数值等于切线斜率等等。它就是实实在在的、作为两个宏观量之比的切线斜率。就这么简单。一切问题全部化解。包括自变量的微分——它当然是宏观的增量。呵呵，这不就解决了？按我文章中“导数的第二定义”，函数的微分也是宏观函数增量。一致了。都是增量。这里需要中值定理。在我的文章中，这不仅仅是定理，其实就是理论的出发点。详细的可以看我的那些文章，这里不多说了。有些似乎在文清慧博客中也发过。

我要说，对薛先生，我倒是很敬佩的。这些年，在此发表了这么多文章，讨论。反方很多，而正方几乎就他一个。单拳敌八脚，工作量实在是很大的。而且每篇文章，应该说都是动了脑子的，篇幅也不小。很不容易，真的！我很佩服。而且，在这个领域，如此执着，真的不多。当然，我也想对薛先生提点建议，就是您也从反面考虑一点问题，不要教科书上的，就是无问题的，外国人的，就是无问题的，权威的，就是无问题的。有问题的，都是我们这些人。什么事，都不能有先入为主的偏见。做学问，求真知，不是那个大专辩论会的路子，既然抽到正方的签，无理也要搅三分。死不认错。比如这里的自变量的微分定义问题。不是你定义了，我就得遵命，否则就是没有理解这是个定义，就是我的错。你这个定义，合适吗？一个符号，两个意思，叫学生根据上下文去揣摩、推敲，看是哪一个。这叫什么事儿啊？老师有这么当的？教程有这么编的？还不让人提？一提，反是人家的错了。

最后，我就一句话：既然自变量的微分是增量，增量就是Dx，凭什么不用Dx，偏去要用那个已有定义的dx？去跟函数的微分线性主部凑什么热闹？凭什么？为什么？

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