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Zmn-0224 薛问天：必须承认编号为3的复合函数的存在-评师教民先生的《0220》

已有 1617 次阅读 2020-6-10 14:49 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0224 薛问天：必须承认编号为3的复合函数的存在-评师教民先生的《0220》

【编者按。下面是薛问天先生发来的论文，评论《zmn-0220》师教民先生的文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

必须承认编号为3的复合函数的存在

-评师教民先生的《0220》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

(一)，必须承认编号为3的复合函数的存在

什么是复合函数?什么是编号为1的函数y=f(x)同编号为2的函数ⅹ=g(t)经过【复合运算】而得到的【复合函数】y=f(g(t))?

那就是编号为3的函数y=h(t)=f(g(t))。你必须承认这个函数的存在。我要大声疾呼，捍卫这个复合函数的「函数地位」。任何忽视，轻视，歧视这个函数的正式的「函数地位」的观点都是错误的，必须予以纠正。

什么是函数?编号为1的函数y=f(x)就是集合X到集合Y的一个映射f:X→Y。这里有定义域X，值域Y和映射关系y=f(x)。

编号为2的函数x=g(t)就是集合T到集合X的一个映射g:T→X。这里有定义域T，值域X和映射关系x=g(t)。

什么是复合函数？按照「复合函数」的定义，它就是函数y=h(t)，它就是集合T到集合Y的一个映射h:T→Y。这里有定义域T，值域Y和映射关系y=h(t)=f(g(t))。

显然复合函数是一个单独的函数，有定义域T，有值域Y，有映射关系 y=h(t)=f(g(x))。将其编号为3。我们必须承认它的存在，并捍卫它的合法合理的函数地位。它不同于编号为1的函数y=f(x)，也不同于编号为2的函数x=g(t)。自然可以有它自己的编号3，有它独立的函数名称「h」。

例如，如果y=f(x)=x^2，x=g(t)=t^3。则它们的复合函数就是y=h(t)=f(g(t))=f(t^3)=(t^3)^2=t^5，即 y=h(t)=t^5。y=t^5，是既不同于y=x^2，也不同于x=t^3的第三个函数。

再例如，如果y=f(x)=x^2，x=g(t)=√t。则它们的复合函数就是y=h(t)=f(g(t))=f(√t)=(√t)^2=t，即 y=h(t)=t。显然y=t，是既不同于y=x^2，也不同于x=√t的第三个函数。

正反函数是复合函数的特例，只是变量t 等于变量y ，数域T等于数域Y而已。並不影响复合函数的「函数地位」，它(h)仍然是不同于f,g的编号为3的函数。只是它的定义域由T变为Y，成为h:Y→Y的一个映射。

师教民的错误是公然忽视复合函数的合法「函数地位」。师先生说:

【1)我的正反函数 y=f(x)(编号为 1)和 x=g(y)(编号为 2)与复合函数 y=f [g (y)]是同一个函数，它们只是表达形式或书写形式或名称不同】

师先生你说这样的话不觉得【自相矛盾】吗? 正反函数 y=f(x)和 x=g(y)是两个不同的函数，f的编号为 1，g的编号为2，怎么能同复合函数【是同一个函数】?究竞是同f还是同g【是同一个函数】？另外判断两个函数【是同一个函数】必须(1)定义域相同，(2)值域相同，(3)映射方法相同。f,g和复合函数h是不滿足这三个条件的三个不相同的函数，师先生硬是不顾事实地说它们【是同一个函数，它们只是表达形式或书写形式或名称不同】的说法是完全错误的。定义域不相同，值域不相同，映射方法更不相同。怎么能【是同一个函数】?

师先生说【薛问天先生硬是编造出一个编号为③的函数 h(y)强加于我，......】
这不是我【强加于】你的，是客观事实【强加于】你的，是严谨的逻辑【强加于】你的，你必须承认编号为③的复合函数的存在以及它的「函数地位」。错误的认识必须纠正。这是我们继续讨论下去的前提。

(二)，这里有三个函数，三个导数，三套微分

师先生必须承认编号为③的复合函数的存在以及它的「函数地位」。在这里共有三个函数， y=f(x)，x=g(y) ，y=h(y)=f(g(y))。相应的三个导数:f'(x)，g'(y)，h'(y)，和三套微分。

对变量的微分应有正确的认识。微分不仅同变量的名称有关，主要同此变量在函数中的地位有关，有自变量的微分同因变量的微分的区别。关于因变量的微分，对不同的函数在不同的点，它们的微分都是不同的微分。因而同一符号dy可能代表的不是同一个微分变量。

在正反函数中，对正函数y=f(x) ，x是自变量，y是因变量，因而
dy=df(x)=f'(x)dx，dy/dx=f'(x)............①

①中的dx①=Δx是自变量的微分，dy①=df(x)是函数f的因变量的微分。

对反函数x=g(y)，x变成因变量， y变成自变量。因而

dx=dg(y)=g'(y)dy，dx/dy=g'(y)............②

②中的dx②=dg(y)是函数g的因变量的微分，dy②=Δy是自变量的微分。

在上两式中，dx①同dx②虽然都用dx表示，但却是两个不同的微分。同样虽然dy①同dy②都用dy表示，也是两个不同的微分。这点非常重要，绝对不要混淆。

这里要特别强调的是，对于复合函数y=h(y)=f(g(y))，既然它是不同于f,g的第三个函数，所以它也有自己的微分式:

dy=dh(y)=h'(y)dy②,............③

这里的dy③是复合函数y=h(y)的因变量的微分，不要同dy①(是函数y=f(x)的因变量的微分)相混淆，这是不同的微分。③中的dy②是自变量的微分，由于自变量的微分同函数无关(都=Δy)，所以同②中的dy②是同一微分。只是由于函数y=h(y)是恒等函数，它的导数h'(y)恒等于1。所以可证dy③=1dy②。因而dy③同dy②是同一微分，但是dy③同dy①是不同的微分。

综上所述，在这些微分中，dy並不是只有一个，有dy①同dy②之分，另外对于复合函数，还有dy③。不过最后可以证明 : dy③=dy②。

(三)师教民先生的证明错在哪里？

我在《0215》中己经说得很清楚，写道:「师教民先生在这个证明中所犯的错误，是混淆了正函数 y=f(x) (编号为 1)的微分dy①，同正反函数的复合函数 y=f(g(y))=h(y)(由于f,g互为反函数，所以h是恒等函数)(编号为3)的微分dy③，这是两个不同的微分。师先生实际上所证明的是dy③/dy②=1，即证明了dy③=dy②，师教民先生误以为他证明了dy①=dy②。得出了错误的结论。」而且把他的证明原文引出，并用图文标出他的错误:「复合函数y=f(g(y))=h(y)的导数应为dy③/dy②，而不是dy1/dy2。」

没想到凭师先生的这点智商，竟然看不懂我的评论。说什么【2)薛问天先生不敢反驳我说的或是因为驳不倒我说的〖......〗.......】【3)薛问天先生故意......，假装没有看见我的推导算式〖......〗．以此来躲避驳不倒我的问题〖 ......〗】【躲避了我的上述推导中的算式就更不能说明我的上述推导错误了！】

那就让我们再一次看看师先生的【推导算式】和再一次解释一下我标注的这句话。师先生的算式是:

算式.jpg

我标注的这句话是「复合函数y=f(g(y))=h(y) 的导数应为dy③/dy②，而不是dy1/dy2。」

师先生的算式就是在求复合函数的y=h(y)的导数h'(y)=1。所用的原理就是「函数的导数等于函数增量比的极限。」

有趣的是师先生不承认复合函数的存在，自然也不承认复合函数的导数的存在，却偷偷地使用【因变量 y 对于自变量 y 的导数】这个概念。只有复合函数y=h(y)的因变量和自变量是y。所以虽然他不公开承认，却实际上所求的就是复合函数的导数。

我们知道对复合函数y=h(y)=f(g(y))， dy③=dh(y)=h'(y)dy②，

dy③/dy②=h'(y)............③

也就是说，复合函数的导数 h'(y)= dy③/dy②。

这里dy③ =dh(y)是函数h在y点的因变量微分， dy③=h'(y)Δy，其中的dy②=Δy，是自变量的微分，也是自变量的增量。两者相除才有dy③/dy②=h'(y)。

而师先生把复合函数的导数h'(y)写成dy①/dy②，是严重的错误。要知道dy①是什么，它是函数y=f(x)在x点的因变量微分。dy①=f'(x)Δx，dy②=Δy。这两者的商dy①/dy②=f'(x)Δx/Δy，怎么能等于复合函数的数h'(y)呢？

师教民先生的错误就在于不承认复合函数h的存在，进而也不承认复合函数导数h'(y)的存在，最后不承认复合函数因变量微分dy③的存在。用函数y=f(x)的因变量微分dy①在这里滥竽充数。错把由于dy③=h'(y)dy② 及h'(y)=1而得出的dy③=dy②的结论，误以为是他证明了dy①=dy②，作为它推论dy是同一变量的证明。

(四)， 判断一个微分是什么微分的时候，不是看它是哪个变量的微分，而是要㸔它在函数中的地位。

前面曾强调，微分不仅同变量的名称有关，主要同此变量在函数中的地位有关，有自变量的微分同因变量的微分的区别。因变量的微分对不同的函数在不同的点，它们的微分都是不同的微分。因而同一符号dy可能代表的不是同一个微分变量。

因而我们在判断一个微分是什么微分的时候，不是看它是哪个变量的微分，而是要㸔它在函数中的地位，是自变量的微分还是因变量的微分。如果是因变量的微分还要㸔是哪个函数在哪点的微分。

例如，对函数y=f(x)， dy=f'(x)dx...........①

其中dy①是函数f在x点的因变量微分，dx①是自变量的微分。

对函数x=g(y)， dx=g'(y)dy............②

其中dx②是函数g在y点的因变量微分，dy②是自变量的微分。

我们来看师先生是怎么论证的。他把我的③式无端地改成④式。然后说【按照④式①式知，④式中第 1 项里的 y 是 y①，其微分是 dy①；......】他判断微分时依据的不是㸔有关函数而是看变量是什么，这当然就会出错。

在③式中讲的是复合函数y=h(y)=f(g(y))，

dy=dh(y)=h'(y)dy②,............③

其中左端的dy③自然是复合函数h的因变量的微分dy③=dh(y)，而右端的dy②是自变量的微分(自变量微分同函数无关)。而师先生根据【 y 是 y①】，就得出【其微分是 dy①】，根据【 y 是 y②】，就得出【其微分是 dy②】，而不是依据在式③中「y是函数h的因变量」，判断出「 dy③是复合函数h的因变量的微分」，显然就是错误的。要知道「 dy①是函数f在x点的因变量微分」怎么能是这里的「复合函数h在y点的因变量的微分」呢？师先生的推论依据是错的(由变量判断微分)，他怎么可能推导出正确的结论呢?

要知道在这里只有两个变量x和y，根本不分什么y①,y②和x①,x②。同一变量可以有不同的微分，例如dx①,dx②,dy①,dy②,dy③等。所以由变量是推不出微分的区别的。他的这种由变量判断微分的推论完全是根据它的主观凭空臆想构造出来的，没有任何依据，推导不出任何正确结论来。

另外，不仅变量x和y只有两个，根本不分什么y①,y②和x①,x②。变量的增量Δx,Δy也只有两个，是相互给定的，根本不用分什么 Δx①,Δy①, Δx②,Δy②,....等，然后再证明它们相等。

至于导数就应明确说明是哪个函数的导数。因为这里只有三个函数f,g,h，所以也只有f',g',h'三个导数。而师教民先生说的【因变量 y3 对于自变量 y2 的导数】，【因变量 y1 对于自变量 y2 的导数】和【因变量 y1 对于自变量 y3 的导数】，未指明是哪个函数的导数，根本不知所云。因为这里以y为因变量和以y为自变量的函数只有一个，那就是复合函数y=h(y)，而它的导数h'(y)=dy③/dy②=1。而dy③是h的因变量的微分，dy②是h的自变量的微分。这是按微分定义的唯一正确的解释。

而师教民先生却把它除解释成为dy3/dy2外，还解释成等于dy1/dy2和dy1/dy3。显然这种解释是错误的，因为dy①是y=f(x)的因变量的微分。形成不了复合函数h导数h'(g)的微商。按照导数同微分的定义，复合函数y=h(y)的导数h'(y)=dy③/dy②。其中 dy③是复合函数y=h(y)的因变量的微分。而不能是函数y=f(x)的因变量的微分 dy①。

(五)，这里没有矛盾。

由于dy③=dh(y)是函数y=h(y)因变量的微分，dy①=df(x)是函数y=f(x)因变量的微分，所以文中说的「混淆了dy③和dy①」就是标题上说的「混淆了函数 h 同函数 f 的微分」。

师教民先生指责的【 5)题中混淆了 dh 同 df 和文中混淆了 dy③同 dy①相矛盾．】不存在。这里没有矛盾。是属于师先没有看懂。

(六)，对评注的闲评

本文到此就应该结束了。因为己经指出了师教民先生《0220》文的主要错误是不丞认复合函数h的存在，进而也不承认复合函数导数h'(y)的存在，最后不承认复合函数因变量微分dy③的存在。用函数y=f(x)的因变量微分dy①在这里滥竽充数。错把由于dy③=h'(y)dy②及h'(y)=1而得出的dy③=dy②的结论，误以为是他证明了dy①=dy②，作为它推论dy是同一变量的证明。

回过头来再看看师的原文。发现师文中还有一些对我的前文的评注。问得挺有意思，不妨再做点闲评。

以下所引的是我《0215》的原文。方括号中的内容 [本文作者注：......]是师先生的评注。圆括号中的内容(......)是我这次的闲评。

薛问天先生说：【正反函数是复合函数的特例．正反函数y=f (x)，x=g (y)互为反函数，复合函数y=f (g (y))=h(y)是恒等函数．

正函数y=f (x)在x点的微分dy①=Adx①……①，

反函数x=g (y)在y点的微分dx②=Bdy②……②，

而复合函数y=h(y)=f (g (y))在y点的微分

dy③=Cdy②……③[本文作者注：为何没有了dy①?]．

(dy①在①式中，dy③在③式中有什么好奇怪的?)

显然这里的dy③同dy①是不同的微分变量 [dy①都没有了，怎么反而显然dy③同dy①是不同的微分变量了?]．

(dy①在①式中，dy③在③式中，我强调它们是不同的微分。不知师先生感到哪里不妥，在质疑什么? )

而因为复合函数y=h(y) [该式中有y①，y③，无y②]

(各式中的变量y都是y， y只是一个变量，不分变量y①,y②,y③。复合函数 y=h(y)中的因变量和自变量都是y。 y=h(y)是Y到Y的映射。)

是恒等函数导数C=1．所以有dy③=dy②[怎么该式中多出了y②，而没有了y①了呢?]

(dy③是复合函数y=h(y)因变量的微分，dy② 是复合函数y=h(y)自变量的微分，同时也是函数x=g(y)的自变量的微分。由于自变量的微分与函数无关，全部用同一个符号dy②表示。这些都与dy①无关)

师教民先生的错误是混淆了dy③同dy①[我的文中根本就没有dy③，怎么就混淆了?]，

(你文中没有 dy③，并不等于复合函数h因变量的微分就不存在。你在应该用「 复合函数h因变量的微分dy③」的地方，用函数y=f(x)因变量的微分dy①滥竽充数，这就是混淆。)

误以为他证明了dy①=dy②[我的证明有严格的推导过程和步骤，怎么就是误以为呢?]．】

(你在证明中，本该复合函数的导数h'(y)=dy③/dy②，你错误地把复合函数的导数写成h'(y)=dy①/dy②。 错把由于dy③=h'(y)dy②及h'(y)=1而得出的dy③=dy②的结论，误以为是证明了dy①=dy②。这就是证明的错误。)