本文试图用很短的篇幅永久性地结束关于对角线的争论。

      康托的对角线证明十分简单（反证法）：

        假定实数可数，则根据可数的定义，可将区间[0，1）内的实数一一列出：

         a₁，a₂ ，a₃，…                 （1）

        现将上述实数写成

       a₁=0.a₁₁a₁₂a₁₃...

       a₂=0.a₂₁a₂₂a₂₃...

       a₃=0.a₃₁a₃₂a₃₃...

       ……

      其中, a_ij表示实数a_i的第j位小数，

      不妨称由其中对角线元素构成的小数    0.a₁₁a₂₂a₃₃...   为对角线小数。

      设

      b=b₁₁b₂₂b₃₃….                      （2）

  且

    b_ii ≠a_ii,（i=1,2,3,…）            （3）

    由于式(3)保证了对于"任何"一个实数 a_i，b中都有一位小数b_ii，与该实数的第i位小数a_ii,不同，这就巧妙地保证了对于 "任何"一个实数a_i，都有

    a_i≠ b, （i=1,2,3,…）          （4）

成立，即b是一个不在（1）内的实数，与“根据可数的定义，可将区间[0，1）内的实数一一列出”矛盾，所以，康托认为他证明了实数不可数。

          然而，考察（1）的一个真子集，

0.1000…，

0.11000…，

0.111000…，

……

并把该真子集置于（1）的最前端， 显然，这时只能保证b与该真子集的任何元素不同，不能保证与（1）中任何其他元素不同,对角线证明失败。

     以上例子具普遍意义：由于式（3）左右两端的下标相同，故（3）左端的实数数目与右端b 的小数位数精确一致。如果把滿足（3）的实数定义成集合A的元素，那么A只是B最前端的一个真子集，这里，B是以（1）为元素的集合。也就是说，B=A＋（B－A），而对角线只能保证b与真子集A的每一个元素不同，无法排除b是非空差集B－A的元素之一的可能性。

       B－A非空的证明：若B－A空，则B=A的元素数目与b的小数位数精确一致。不失一般性，设b 已根据（3）计算到n位小数（n＝1，2，3…，由于其值可变，故可将n 定义为一个无上界的正整数变量），由于（1）内的任意实数总可以写成无限小数的形式（有限小数可以在末尾加上无限个零变成无限小数），因此，任意实数的小数位数总是不小于n的，即使只考虑实数的n位有限小数，如所周知，十进制n位有限小数有10ⁿ个，无限小数的数目当然更多。因此，令M＝10ⁿ，则对任意大的n（n＝1，2，3，…），总有：

实数数目＞＝M＞n  

即B的元素数目总是比b的小数位数大，矛盾，证毕。

      从这里可以看到，尽管对角线可以无限延长，但是由于（1）的实数数目比对角线的位数更多，故（3）（4）只能保证b与（1）内的部分实数不同，无法保证b不在（1）内，对角线证明失败。

      由此可见，错误的隐含假定“实数数目精确等于对角线小数位数”是对角线证明错误的原因所在。

      另外一个更明显的逻辑漏洞是：对角线证明的全部工作，不过是企图构造一个不在（1）内的b。如果认为该企图一旦成功，就可以推翻可数假定的话，不管康托的主观意愿是什么，也不管他具体是怎么讲的，客观上就等于宣告，b的存在，是与可数假定矛盾的。然而，根据康托自己建立的可列可加性理论，在可数集合里，再增加一个、多个甚至无限个b，与可数假定都无法形成任何必然的矛盾！这就会导致这样的结果：如果认为对角线证明的思路是正确的（是不是证明了是另外一回事），就必须宣布可列可加性是错的；反之，如果认为可列可加性是对的，就必须宣布对角线的证明思路是错的。

       其实光凭这一点，就足以推翻康托的理论体系。如此明显的自相矛盾，主流数学界竟然没有人发现？！

       何况，根本就无法保证一定能找到不在（1）内的b！

      其实实数的可数性根本不需要复杂的推理即可证明：

      定理 实数是可数的。

      证明：设在实数轴上任取一实数，将其编号为1，然后再任取另一个数，将其编号为2.....该过程无限地延续下去，则所取的数已经与自然数一一对应了。由于每次取数时，必定有一个数会被取出，故任何一个数都可能被取出，也可能不被取出，不存在永远取不出的数，证毕。

当然，这个过程是不会终止的。这个很正常：任何无限集合的元素都是永远取不完的，例如，即使随机取自然数也取不完。

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以上主要摘录于

摘要：指出了康托对角线证明中的逻辑错误（定理1）。在实数有限公理的基础上给出了无限的定义（定义1），并在此基础上给出了潜无限和实无限明确的数学定义（定义2）及使用规则：实无限观是对真实的无限即潜无限可能有的结果的想像，试图简化复杂的无限问题。因此建议将潜无限称为真实无限而将实无限称为假想无限。在实际讨论中，必须注意假想无限的这种简化是否可行。据此讨论了贝克莱悖论等问题。认为所有的悖论都是思维不严格的主观产物，没有客观意义。分别证明了即使有无限的时间和空间，自然数集和实数集的元素也是列不完的（定理2，3），因此无限集合并没有确定的元素数目。指出了基数的数学意义是不清楚的，不能用于研究无限集合的元素数目，一一对应也不能用于比较无限集元素的多少（定理4）。举例说明了比较无限集元素的严格方法。给出了实数可数的定理及其证明（定理5）。指出虽然可以将实数轴视作连续的来处理，但本质上是离散的。提到了皮亚诺公理和戴德金分割中的一些问题。对数学界提出了大幅提高严格思维能力、建立正确的数学哲学观、破除迷信等忠告，同时还给出了如何提高逻辑思维能力的具体方法和建议。

关键词 数学基础；对角线证明；实无限；潜无限；基数；一一对应；L离散

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