对于数学第一性原理的思考，源于一个有趣的问题：五分钟如何让学生真正理解数学？提出该问题的是著名物理学家、教育家钱致榕先生。本着一分钟一条原理的原则，大致可选择如下五条。

第一条：公理化方法

        这是延续两千年的数学理论的演绎范式，源头可以追溯到欧几里得的《几何原本》，后来在牛顿的《自然哲学之数学原理》，希尔伯特的《几何基础》以及狄拉克的《量子力学原理》中更加发扬光大。

        但如果只借助逻辑推理，根据哥德尔的不完备性定理，对于任一可容纳算术公理的数学系统，无论如何选择公理，总会有一些结论既不能被证明，也不能被否定。这说明人类的逻辑本身可能有某种缺陷。

        如何克服这种缺陷呢？也许中国传统数学中的算法思维是一个不错的选择。国家最高科学技术奖得主吴文俊院士曾预言，几百年之后，数学的主流范式可能会由公理系统转化为算法系统。他创立了数学机械化，希望像“蒸汽机把人手从体力劳动中解放出来”那样，把人脑从脑力劳动中解放出来。

        在笔者的博文《哥德尔的封印会被打破吗？》中也对哥德尔不完备性定理做了一点探索。

第二条：结构主义

        根据法国著名的布尔巴基学派的观点：数学是研究各种数学结构的学科，所谓的数学对象只不过是附加了各种数学结构的集合。基本的数学结构有三大类：代数结构、拓扑结构和序结构。布尔巴基学派的结构主义无疑是研究数学的内功心法，可以使我们从纷繁复杂的数学定义、定理和公式中梳理出问题的本质。

        例如我们刚开始学习高等数学的时候，最早接触的是单变量微积分，研究定义域和值域都为实数的函数的连续性、可微性以及可积性。为什么从这里开始呢？因为实数本身具有代数、拓扑和序三大结构，结构非常丰富，因此得到相关结论的过程相对简单，结论也很丰富。

        另一个代表性的例子是如果在集合上添加拓扑结构，就变成了一个拓朴空间，在此拓扑空间中添加微分结构，就变成了微分流形，在此微分流形上添加度量结构，就变成了黎曼流形。

        结构主义的理念使得我们可以清楚的看懂数学发展的趋势。

        第一种是将各种结构有机结合，研究结构交叉的结果，比如将微分结构和群结构结合得到李群。

        第二种是以问题和猜想为导向来构造新的结构，比如丢番图方程的研究促进了对椭圆曲线的群结构与对应模形式的研究。

        第三种是研究不同结构之间的关联和对应关系，比如被誉为“数学统一场论”的朗兰茲纲领。