Zmn-0956  薛问天: 李鸿仪文章的三大错误。评《0954》。

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李鸿仪文章的三大错误。评《0954》。

薛问天 

xuewentian2006@sina.cn

李鴻仪先生的文章《0954》有三大错误，現分别评述如下。

第一个错误。李先生认为对数列

a1.a2.a3.…  极限的定义: 【定义1设A为定数，对任意给定的ε>0，总存在正整数N，当n﹥N时，|an-A|<ε，则称A为该数列的极限】。说【其中，虽然ε可以任意小，但由于数列极限定义只讨论了ε>0的情况，所以通常认为极限是只能接近而不能达到的。】

这个看法是错误的。虽然ε>0，但由于考虑的是|an-A|<ε，所以极限中并未排斥an=A的情形。是允许对某些n，an=A的。不仅允许有穷个n使an=A，也允许有无穷个n，甚至从某有限N后所有的n都使an=A。因而【认为极限是只能接近而不能达到的】的看法是错误的。是存在有些数列的极限【只能接近而不能达到】，但有些数列的极限却是【可以达到】的。这不是李先生的【贡献】，这是原有的极限定义中就包含的内容。

当然这个【达到】指的是数列的项an可以等于极限值A，并不是指数列的n达到∞。李先生认为数列an可以达到a∞，这是李先生的另一错误。

第二个错误。李先生认为可以使无限数列【数列的项数达到了∞项】的看法是错误的。

要知道数列(3)的通项是an=1-1/2^n，数列(4)的通项是an=1-1/n，无论n有多大，n都是有限的自然数，不可能达到无限大∞。而且∞不是数，令a∞=1-1/2^∞，a∞=1-1/∞，沒有任何意义。所以说，由于自然数没有最大数，∞不是最大自然数，认为自然数有最大数会导致矛盾。因而数列an不能达到a∞。李先生认为【数列的项数达到了∞项】的看法是错误的。

至于说到匀速运动，动点从坐标0点运动到坐标1点，中间经过了由无穷数列(3)或(4)表达的无穷个点，最后能到达坐标为1的点，只能说明经过这无穷个点的运动过程完全可以完成。但由此说明不了这无穷数列有最后一项是a∞。也就是说动点经过了数列所有项所表示的点。但数列是无穷数列，并沒有最后一项。1这个坐标点是动点经过了数列所表达的所有这无穷个点后所到达的点，并不是数列最后一项所表达的点。因为无穷数列并沒有最后一项。

另外，由于∞不是数，数列的通项公式只能求出数列an的值，求不出a∞的值，a∞的值是沒有定义的。所以，李先生的定理1，说设数列an存在极限A，其∞项数列a∞可以达到极限A。就毫无意义。证明中的e∞=丨无限项值-A|，这里的【无限项值】a∞根本就没有数的定义，怎么能证明e∞=0。这根本不可能。

第三个错误。李先生没有弄懂，由于有理数和无理数所具有稠密性，它们的数之间根本就不存在【相邻点】。而李先生却大言不惭地研究起相邻点间的【最短距离】来了。而且还得出【有理数之间的最短距离无限倍于无理数之间、或无理数与有理数之间的最短距离。】的荒谬结论，这一切从根本概念上都是错误的。稠密性的数系根本不存在相邻点！

仔细看看所叙述的内容就可知，李先生所研究的根本不是【两个有理数之间的最小间距】，而是不循环部分的小数位数分别是m1，m2的两类有理数之间的最小距离。要知道在这有理数之间还有距离更小，其m1更大的有理数存在。由于m1可以任意大，从而这样算出的d可以任意小，d以0为极限，当然是无穷小。李先生说【我们不能把d看作是一个无穷小量】当然是错误的。另外认为【有理数虽然是稠密的，但之间永远有空隙，】也是错误的。

要知道有理数具有稠密性，没有相邻的有理数，任何两个有理数之间都有无数个有理数存在。不存在之间有最小间距的两个有理数。不仅有理数是稠密的，无理数也如此，不存在相邻的无理数。也不存在无理数同有理数相邻。实数中有理数和无理数的分布是相互关联和稠密分布的。不是一个个相邻琲列分布的。

因而李先生的论断【有理数之间的空隙不是无限小，而是有限小，而有理数和无理数之间，以及无理数和无理数之间的空隙是无限小的，】等等全是他的主观臆想，毫无意义，什么是【无限小】【有限小】，这不是在严格地讨论数学，而是在茶馆的瞎吹牛。当然用这些来质疑区间套定理和戴德金分割所证明的无理数的唯一性，那完全是毫无意义，不值一驳的完全错误。

上面只说了李先生的三点错误。实际上李先生文中的错误观点还很多。例如他在文后一些讨论中所说的【无限可以达到，但永远不能结束和完成。 建立在无限可以完成假设上的任何理论都是错的。】的观点就是反对现代实无穷观的错误。坚持这种错误观点，就不承认无限集合的形成过程可以完成，就不承认无限集合的外延唯一确定性。可以说就否定了整个集合论。

这种错误的关键在于低估了人类的思维和逻辑能力。要知道逻辑上有个全程量词∀【所有的】。我们知道自然数是由0经后继运算得到的数。只要我们用了全程量词，说N是【所有的由0经后继运算的数】形成的集合。那么在思维中，在逻辑上，就完全得到了这个集合。也就是说这个集合在我们的思维逻辑中完全形成。就可以在思维中在逻辑上讨论这个【所有自然集合】的性质。进行推理进行判断，进行各种理论研究。这就是思维的力量，逻辑的力量，对人的这种推理能力和认识能力，绝对不能低估，更不能否定。

李先生说由此可以产生矛盾形成悖论的说法显然是错误的。他举的例子就充分说明了这点。我们来具体分析一下。

假设A是包含所有自然数的集合，A1和A2是分别是与A一一对应的偶数集合和奇数集合，李先生却说【A3=A1UA2是另一个显然比A包含了更多自然数的集合，与A已包含了全体自然数矛盾，从而形成悖论。】

你根据什么说【A3=A1UA2是另一个显然比A包含了更多自然数的集合】，错了，A3就是A，并不比A多更多的自然数。怎么判定两个集合A3和A相等是一个集合，这很容易证明。A的元素都属于A3，而A3的任何元素也都属于A，因而A3和A相等是一个集合，说【A3=A1UA2是另一个显然比A包含了更多自然数的集合】是错误的。A1和A2都是A的真子集，A同A1和A3一一对应，这是典型的无限集同它的真子集一一对应的范例。李先生之所以犯此错误同他不承认这个无限集的特性有很大关系。这个例子不存在任何矛盾，不会导致任何悖论。

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