Zmn-0971 薛问天: 集合论没错，全是李鸿仪先生的认识错误，评《0970》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对李鸿仪先生《Zmn-0970》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

集合论没错，全是李鸿仪先生的认识错误，评《0970》

薛问天 

xuewentian2006@sina.cn

李鸿仪先生撰文说集合论有错误。其实全不是，这都是他认识的错误。源于他对无限集合的特点缺乏足够的正确认识。他还提出所谓的对错误的【纠正】，和【弹性集合】的概念，这些都是矛盾重重，错误连篇。现逐条分析如下。

一，李先生认为【集合论没有清楚地讨论无限集合元素数目这一最基本的概念】，这严重与事实不符。集合论用一一对应建立的基数理论，就是对无限集合的元素数目这一概念的深入研究。只不过由于无限集合同有限集合有重要的区别，所以没有选用【元素数目】这个名称而称其为无限集合的【基数】而已。

李先生说基数理论有【很多矛盾和错误】的说法是不对的。基数理论没有【矛盾和错误】，是李先生理解和认识的错误。

李先生所举的乘2的操作，实际上数学上早已把它归纳为【双射】。对于双射，每个元素都有映象，一个元素只能陕射一个元素，反过来的原象也一样，无重复无遗露。数学上把存在【双射】叫作一一对应，而基数就是用一一对应来定义基数的相等的。李先生能举这例子，说明他似乎也承认由存在双射定义的一一对应的两个无穷集合，它们的元素数目是相等的。

关键是无穷集合有这一特性，同有限集合不同。即无穷集合有可能同它的真子集一一对应。

而李鸿仪先生却坚持认为【任何无限集合的元素数目必然是比其真子集多的】，这就产生了李先生对无限集合的元素数目要求上的矛盾。即李先生既要求在双射一一对应下两个无穷集合的元素数目相等，又要求无穷集合同它的真子集元素数目不等。但无穷集又有可能同它的真子集一一对应。这就产生了矛盾，这就决定了李先生坚持要这样来定义元素数目的计划是宣告失敗了，是不可能实现的。

实际上，李先生所举的例子就完全说明了这点，A是所有自然数的集合，A1是所有偶数的集合。一方面说A同A1一一对应元素数目相同。另一方面又不敢承认A1这个偶数集是所有自然数集A的真子集。要知道这是尽人皆知的事实。硬坚持说无穷集合同它的真子集元素数目不同。这本身就是解不开的矛盾。

李先生为了解开矛盾，想了一个怪招说A1这个偶数集不是所有自然数集A的真子集。而【集合A1*才是A所包含的偶数真子集。】

于是A1*又出現了一个偶数集。偶数集也有多个，而A1是A3的真子集，A3不是A，于是所有自然数集也有多个不唯一，......。 下面我们就来证明这全是错误的一派胡言。

二，李先生说A1不是A的真子集，偶数集、奇数集和所有自然数集有多个是完全错误的。

李先生令A是所有自然数的集合。令A1是这个同A一一对应的偶数集; 

A1={y|y=2x,x∈A}={2,4,6,……}，               (1)

我们怎么判断和证明A1是A的真子集。很清楚按照真子集的定义，只要证明①A1⊆A，A1是A的子集。② 存在有元素x∈A，但x∉A1，就可证明A1是A的真子集。我们来给出证明。①很容易证，任何y∈A1，都有y=2x.x∈A，它是自然数x乘2，当然乘积仍是自然数。显然y∈A。②更容易证。知存在有奇数1∈A但它不是偶数，于是显然1∉A1。证毕。

李先生，有如此严格的证明在此，你还坚持A1不是A的真子集吗？

李先生有此坚持能说出口的唯一理由，就是错误地认为，无穷集合不能同其真子集一一对应。其实这不能成为论据的理由，因为这就是李鸿仪先生一直沒有认识到的无穷集合的特性。无穷集有可能同其真子集一一对应，这是无穷集的特性，是客观存在的现实，而且是在数学上严格证明的定理。李先生，有如此严格的证明在此，证明了同A一一对应的A1是A的真子集，你还坚持无穷集合不能同其真子集一一对应吗？

要知道伽利略这个古人早在400年前就发现了这个事实，提出虽然平方数是自然数的部分，但每个平方数有且只有一个对应的正数平方根，对于每个数都必定有一个确定的平方数；所以，数和平方数不可能某一方更多。可悲的是李先生到現在对此事实还没有真正的认识。

李先生认为;

【A1*={x|x mod 2=0,x∈A}={2,4,6,……}                 （2）

得到的集合A1*才是A所包含的偶数真子集。】

并且认为A1≠A1*，【两者并不是同一个集合，或者说偶数集并不是唯一的。】

更严重地是他说【本文严格证明了A1≠A1*，即偶数集不是唯一的。】

所以必须对李先生的这个错误进行严励的驳斥。他哪里能证明【A1≠A1*】【偶数集不是唯一的】。我们可以严格证明A1=A1*，所有偶数构成的集合只有一个。

关键是对谓词P(y); y是偶数的表述和推断。我们知道y是偶数这个谓词P(y)的正确表述是

p(y)=这个自然数y等于某自然数x乘2，y=2x。即

P(y)=y∈A∧(⺕x)[y=2x∧x∈A]。

但是在数学上这完全等价于下述表述。即P(y)当且仅当y这个自然数被2除后余数为0，即

y∈A∧(y mod 2 =0)。

耍知道在数学上，(⺕x)[y=2x∧x∈A]完全等价于(y mod 2 =0)。它们的关系是当且仅当。

因而集合的定义

A1={y|y=2x,x∈A} 

A1*={x|x mod 2=0,x∈A}

      ={y|y mod 2=0,y∈A}

所定义的集合是完全一样的。

对任何元素y∈A1当且仅当y∈A1*

这就严格地证明了A1和A1*是同一个集合。

李先生，你能否定这个严格的证明吗。你能否定数学上，自然数y等于某自然数x乘2，y=2x，同y这个自然数被2除后余数为0，是当且仅当的等价关系吗？

同理y是奇数这个谓词y∈A∧(⺕x)[y=2x-1∧x∈A]同y∈A∧(y+1 mod 2=0)在数学上是当且仅当的等价关系。从而集合的定义

A2={y |y=x-1,x∈A1}={y|y=2x-1，x∈A}={1,3,5,……}，      (3)

A2*={x | (x+1) mod 2 =0,x∈A}={1,3,5,……}              （4）

所定义的集合A2,A2*可以严格证明是同一集合。

既然A1=A1*而且A2=A2*，由于A=A1*∪A2*，A3=A1∪A2，这就严格证明了A=A3，从而否定了李先生的A≠A3的错误结论。

同时也否定了李先生由A≠A3证明的【定理1自然数集合的外延是不断扩大的。】当然还要证明A3=A6，从而否定李先生的A3≠A6等的错误结论。但这都是同样的道理，顺理成章。从而严格证明否定了定理1。

自然也同时否定了李先生提出的

【推论1，自然数集合不是唯一的。】和

【推论2，不存在一个包含所有自然数的自然数集合，即无穷公理不成立。】以及

【推论3，偶数（或奇数）集合不是唯一的。】

【推论4，不存在一个包含所有偶数（或奇数）的偶数（或奇数）集合。】

三，不瞒直说，李先生的【三  错误的纠正：外延可变集合的建立】已陷入〖逻辑一团糟〗。

一方面，因为已证，定理1及各项推论是错误的，所以根本就不需要什么【错误的纠正】，另一方面所建立的【外延可变集合】可以说从数学上讲陷入〖逻辑一团糟〗。

陷入逻辑混乱的地方很多。例如，李先生知道集合论中的集合，外延是确定不变的。要建立【外延可变集合】就是需要另外的定义。怎么一开始却来了个定理，证明这样用变量定义的N是【外延可变集合】。要知道按原来的定义，外延可变就不是集合。还没有【外延可变集合】的定义，怎么能证明N是【外延可变集合】，这在逻辑上是混乱的。

后又说【称这样定义的集合为弹性集合】，倒底在说什么？是定义还是定理？

另一方面，在前面的论证中说自然数集合有A，A3，A6，...等都是不同的集合，因而自然数集合不唯一有多个不同的集合。你现在又说因为自然数集合的外延在变化，因而要引入外延可变的集合，你是否要把这些不同的A.A3,A6合并为一个外延可变的集合，使自然数集合变成唯一的集合。使这些你认为是不同的偶数集合变成唯一的集合。

要知道集合论中集合有确定的外延，才能把有相同外延的集合称为相同的同一集合。你的外延可变的弹性集合没有确定的外延，你能不能，和根据什么来确定两个弹性集合是相同的同一集合。

如果你用来确定两个弹性集合是相同的同一集合的标准不是其外延相同，而是根据变量变化的快慢程度。那你怎么能说相同的弹性集合元素数目相等？这一切都乱得一团糟。

要知道你的弹性集合N，并不是一个有确定元素外延的集合，因而元素的属于关系也不是确定的。即弹性集合没有确定的元素。所以在论证中不能说【y∈N】或【y∉N】，而只能说对变量的某值n有【y∈Nn】。也就是说你的弹性集合N并不是一个可以说有元素y【y∈N】的集合，而是一个随变量变化的集合函数，或称集合序列Nn，只能谈对变量的某值n有【y∈Nn】，y属于这个有限集合Nn。当然如果最后终有一个n使y∈Nn，即(彐n)[y∈Nn]，那也不能说y∈N，而是y属于序列的并集∪Nn，即y∈UNn。总之，只能有对某n，使y∈Nn，或y∈UNn，而不能有y∈N。也就是说弹性集合本身不是集合，只是弹性集合的【瞬时集合】Nn和弹性集合的【并集合】∪Nn才是集合。

这样说来在证明中，李先生说【对任意大的自然数n*，只要令n﹥n*，则n*∈N成立，】其中的【则n*∈N成立】就是错的，而应写成〖则n*∈∪Nn成立〗。也就是说，最后所得结论不应是这个弹性集合【N是一个无限集】，而应是〖这个弹性集合的并集UNn，是【无限的自然数集合】。〗

说李先生逻辑一团糟，其中一条就是李先生没有说请弹性集合同弹性集合的并集之间的关系。这个证明的陈述就是明显一例。

四，我帮李先生把话说清。李先生这里说的弹性集合指的是有一个随自然数n变化的变量m=m(n)。如m=n，或m=n+1，m=2n，...等。

李先生把{1,2,3,...,m}称为弹性集合。

设有两个弹性集合

M1={1,2,3,...,m1}，

M2={1,2,3,...,m2}，

如果变量m1=m2，则称弹性集合相等，是同一弹性集合。如果变量m1≠m2，则称弹性集合不相等，不是同一弹性集合M1≠M2。

李先生，你说我帮你讲得对不对。

但是用此来解释前面讲的A≠A3，并不那么简单，因为在那里A和A1.A2,A3都是普通集合，你现在把它们换成弹性集合，其中A1和A2是经双射操作y=2x和y=2x-1转成的集合，如何以及是否能转成这里所定义的弹性集合都未论述，以及如何定义弹性集合的并集都未定义，A3是否还是弹性集合，它的变量m(n)是怎样的变量还不知道，你怎么就断言A≠A3，这难道不是一团糟吗？

下面我们评论一下，李先生谈用弹性集合对【无限集合不能与其真子集一一对应的证明】。

一上来就乱了。我们所说的〖无限集合能与其真子集一一对应〗，中所说的集合指的是集合论中的集合。是外延不变的集合。可李先生证明的集合，是他所说的弹性集合。而在我们看来弹性集合就不是集合，而是集合函数和集合序列。你说他证明的命题对我们有何意义。他就是真的证明了对弹性集合

【无限集合不能与其真子集一一对应】，能否定我们说的对集合论中的集合〖无限集合能与其真子集一一对应〗的事实吗？

更何况对什么是弹性集合，什么是弹性集合的子集，真子集，以及什么是弹性集合的一一对应，都还没有给出严格定义的条件下，就来讨论这种涉及这些概念的定理，这在逻辑上不是一团糟又是什么？

证明刚一开始就出現了问题。李先生给出了N1的弹性集合表示。【对集合N1={0}UN，若N={1，2，3……n}，则N1={0，1，2，3……n}，】

请问李先生，{0}的弹性集合表示是什么，什么是弹性集合的并集的定义。既然弹性集合是{1 2,3,...n}。这样的定义。为什么N1={0,1,2,...,n}也是弹性集合。可見李先生原先的定义，只有{1,2,3,...n}才是弹性集合的定义，就不妥，而应定义为把无穷序列A1.A2.A3,...称为是弹性集合。其中An是自然数的有穷集。要知道

{0,1,2,...,n}，{2,4,6,...,2n}等都不具有{1,2,3,...,n}这样的模式。而且弹性集合相同的标准不是变量m1和m2的相等，而是对任何n都有相应的有穷集合An和Bn的相同An=Bn。

而证明中所说的【N1比N永远多了一个元素】，无论取何单射【N1中永远有一个元素在N中是找不到原像的，】实际上这指的并不是N1和N，而是序列中的项，即它们的相应有限集合N1n和Nn，是指〖N1n比Nn永远多了一个元素〗，无论对任何单射〖N1n中永远有一个元素在Nn中是找不到原象的，〗

要知道这里说的N1n，Nn都是有限集合。对有限集合，当然【不能与其真子集一一对应】。在这个证明里所说的都是有限集的真子集和有限集的一一对应。因而对我们讨论的〖无限集合能与其真子集一一对应〗的事实，沒有任何关系。由此李先生就得出结论否定【无限集合可以与其真子集一一对应】，说是给出了【证明】是完全错误的。另外还说【只要证明一种单射不是双射，就说明两个集合的元素数目不是一样的，这样等于证明了任何单射都不是双射。】这对有穷集合是成立的，但对无穷集合并不成立。对于无穷集合，〖证明一种单射不是双射，开不能说明两个集合不能一一对应，并不等于证明了任何单射都不是双射。】

例如由N经y=x-1操作得到的无穷集合N1={y丨y=x-1，x∈N}。显然N到N1的单射y=x-1是双射。但N到N1的单射y=x就不是双射，因为N1中的元素0沒有原象，不是满射。

这就证明了李先生所说的【只要证明一种单射不是双射，......这样等于证明了任何单射都不是双射。】是错误的。

五，李先生用弹性集合来证明集合的基数理论的错误犯了同样的错误。要知道逻辑上不能含混，弹性集合并不是集合。李先生由弹性集合所表述的无限自然数弹性集合，并不是我们集合论中所讨论的由全体自然数枸成的无限自然数集合。因而由你给你的【无限自然数弹性集合】的元素数目定义是变量n，证明不了康托尔把集合论中的【全体自然数集合】的基数定义为固定的超限基数אo【显然错误】。作出这样的推理是李先生的逻辑错误。

按照我们的观点，李先生所描述的【无限自然数弹性集合】只是想描述【全体自然数集合】的生成过程，是由小变大的有限集合构成的的无穷序列。而集合论中讨论的【全体自然数集合】则是生成过程已经完成，最后形成的无穷集合。严格地讲是这些有限集合无穷序列的总体并集。

在李先生定义的【无限自然数弹性集合】中{1,2,3,...,m｝，m=m(n)是自然数n的函数，是个变量。李先生把它作为弹性集合的元素数目，明显不合适。在我们看来这只是反映自然数集合的生成时的快慢，同最后生成的集合的元素数目沒有关系。李先生用此变量的不同来决定弹性集合的不同。但实际上不论变量m怎么不同，最后的并集都是相同的。也就是说全体自然数的集合只有一个，是唯一的。

换句话说，李先生用对此变量的加加减减四则运算所研究的只是那些相应有限集合的元素数目之间的关系，反映的也只是自然数集合生长的快慢之分，同元素数目大小无关。最后生成的集合元素数目都相同。不同的弹性集合生成的并集只有一个。所以用变量研究的结果同元素数目没有关系。这些研究毫无意义。

以上分析的就是李先生文中的错误。也就是说李鸿仪先生撰文说集合论有错误。其实全不是，这都是他认识的错误。

当然对待错误的最好的办法，就是把它揭露出来，分析清楚。【清除错误，势在必行！】

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 李鸿仪先生，

我希望你能仔细看我的文章。我不是为反对而反对。我反对的都是具体的错误。我很喜欢同你讨论这些非常具体的问题。严格地论个对错。

本文首先反对你认为A1不是A的真子集。严格地按数学定义证明了A1是A的真子集。

李先生，有如此严格的证明在此，证明了同A一一对应的A1是A的真子集，你还坚持无穷集合不能同其真子集一一对应吗？

接下来。我又严格地证明了A1=A1*，同理可证A2=a2*，从而就严格地证明了A=A3，当然也就同理证明了A3=A6等，否定了你的定理1及相关推论。

接着等等错误和逻辑混乱纷纷指出和评论。

看来李先生对我提出的对弹性集合

解释成集合函数和集合序列开沒有直接反对，只是说是【简单的问题复杂化】。实际上我认为并不那么简单。我认为就是由于李先生把问题想得过分筒单，才在逻辑上显得一团糟，直到现在李先生还把弹性集合同集合论中的集合两者的区别没搞清楚，乱谈应用。

总之，我认为讨论还是有用的，可以发現错误，纠正错误。特别是一些具体的数学问题，容易判断对错。

我认为在这些具体的学术问题上不要把是外国人还是中国人看得那么重，科学是不分国界的。外国人中国人在这些自然科学的问题上，都可能有正确的和错误的观点和认识。要通过推理来判断，对事不对人。

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