孙悟空有一大本领，就是变出一大群一模一样的孙悟空。现实生活中能行吗？

        也许能行吧。

        1924年，Banach与Tarski证明了一个令人惊奇的“分球定理”，该定理说：任意闭球体W可以分为两个不交子集的并，使得W与其中的每一个均能经有限分割而重合。

        直观地讲，一个铜球可以重新做成两个与原来一样大的铜球，而且还可以再做下去。这不是孙猴猴的分身术吗。

        这个定理显然是反直观的，不为常识所理解。是证明发生错误了吗？不是。是数学证明不可靠吗？这简直要颠覆数学。

        问题出在证明中用了一个未经证明的“选择公理”，那么，可不可以抛弃“选择公理”呢？

 

        1904年，33岁的策墨罗提出选择公理，并于1908年建立公理集合论，以图消除朴素集合论的语义悖论。然而，其发表后遭到各方面的批评，特别是斯科兰姆在1922年的第五届赫尔辛基斯堪的纳维亚数学家大会上的报告，对策墨罗公理系统提出了八大批评，其中包括选择公理。

    其实，在此之前，选择公理早就存在于数学领域。早在1890年，皮亚诺就不用选择公理构造了一个函数。1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上，提出的一个问题就是一个集合是否可整序。1904年，策墨罗用选择公理证明了这一猜想。

 

    选择公理是如何表述的呢？

    选择公理：对若干个非空集合作成的类，恒存在一个选择函数f，使得对类中的每个元素S，有f(S)属于S。

    简言之，对每个非空集合，恒可以从中选择一个元素。这简直近乎常识。而策墨罗最初提出的选择公理，是一个不太好理解的形式。

    策墨罗的公理集合论经过弗兰克尔等人的改进后，虽然至今不能给出其无矛盾性的证明，但似乎已经没有需要大书特书的难点，而为人们所接受。

 

    作为策墨罗选择公理的一个简单应用，是下面连续函数定义的等价性：

    下面，函数f(x)在点x处连续性的定义是等价的，

        (1) ε—δ定义法；

        (2) x_n→x 时，有f(x_n)→f(x)。

   

    在从(2)证(1)时，要用选择公理，证明过程很简单，大学一、二年级学生都能看懂。实际上，就是x的任一领域中某个点的存在性。如果否定选择公理，那么可以证明连续函数处处不连续。这简直与数学常识相违。看来，否定选择公理会更糟。

    事实上，在上世纪六十年代至七十年代，平均每年都会在一个不满足选择公理的模型里证明出一个有如“连续函数处处不连续”一样的怪定理，而连续性是数学分析中最重要而又最基本的概念之一。看来，不承认选择公理更不妙。

    与其不承认选择公理而产生许多怪定理，不如承认选择公理而少产生一点怪定理，而且承认后会带来更多的好处，这就是数学上对公理采取承认或不承认的态度，也就是信仰。

    现在，在数理逻辑、公理集合论、模型论、概率论、抽象代数、拓扑学、泛函分析等学科中，许多重要结论的证明都要借助于选择公理，尽管它同样会带来怪定理。

    既然选择公理如此重要，能不能证明它呢？

    现在知道，基本Cohen模型出来后，选择公理在集合论是不能证明的，而集合论又是架构数学的基础。第二Cohen模型出来后，两元集的可数类的选择公理在集合论也是不能证明的。

    那就只好用承认与不承认，即信仰来解决问题。

    有意思的是，直觉主义学派虽然不甚赞同选择公理，似乎遭到大败，而今却在计算机科学中扬眉吐气。因为，计算机本质上是有限的、构造性的，除了理论计算机。

    只是不太了解数学的人，被数学之美所迷惑，还认为数学完美得天衣无缝呢！

 

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