关于“数学”的对话（11）

（接（10））

乙：有位游客看到“必须弄清： “循环小数”只是趋近于而非通常严格意义的等于“等于”相应的“分数” ，责问：“这话对吗”？

甲：已经具体说明，还须特别注意：无限循环小数与有限位小数的原则差别：
有限位小数是与其相应的分数相等的。
而循环小数和无限不循环的小数，虽然仍用“=”号表达与其相应的分数，但由于：它们都必须有无限的小数位，而只能是趋近于，而不是等于其相应的分数，或开方数，或圆面积等等。
他认为这些论点,怎么不对?!要怎样才对?!

乙：他给出了无限循环小数0.999999… 和1，在严格意义上相等，的初等证明，即：设x=0.999999… , 则 10x=9.99999…=9+0.999999…=9+x, 即
9x=9, 所以 x=1.
    并说：如果小数点后只写有限个9，那才叫逼近。批评作者对极限概念的理解太肤浅，希望不要传播错误的知识。

甲：他这个所谓"证明",也只在小数点后有无限多个9,才是成立的,
否则,若非无限多个9，例如:设只是x=0.999999,则10x=9.99999就=9+0.999999（小数点后就少了1个9）就不=9+x, 所以 x就不=1!
    既然必须有无限多个9,就表明:0.999999…只是趋近于!,而不同于绝对意义的等于!

这就，显然，与0.5=1/2，0.25=1/4,等等有限位的小数是不同的，必须把它们严格区分!

否则，就会分不清如上的差别，而会像二傻那样遇到“鬼“的!

乙：而且,他所谓:"如果小数点后只写有限个9，那才叫逼近"，也是弄错了概念。那只是"近似"，并未"逼近"!

甲：是的！只有小数点后有无限个9，才"趋近于",也叫"逼近于"1!
这里所讲到的，正是要纠正他这种错误的观点啊!

乙：确实，小数点后有无限位的如上两种情况，虽然也都用“=”号表达，但由于：它们都需有无限的小数位，而只能是趋近于，而不是等于其相应的分数” 。

但是，那位游客却仍然认为：“这个观点是错误的”！并说：“关键在于对有限与无限过程的差别没有区分开来，是拿有限的观点考虑无限过程”。

甲：实际上，从他那个x=1的所谓证明，而要否定趋于与等于的差别，才说明:
他自己"对有限与无限过程的差别没有区分开来"啊!

乙：看来，他确实没有弄清无限循环小数只能是趋近于相应的分数!
需要弄清楚：

“无限循环”与“趋近于”的必然关系!

无限循环小数只能是趋近于相应的分数!

甲：其实，求无穷项级数的极限，虽也是用“=”号，表达与其极限值的关系，但是，其求和项n也是必需趋于无穷，因而，实际上，也只是趋于其极限值。

    也是有条件的相等。

乙：看来，对于无穷项级数的极限，也确实必须弄清楚这个条件。

（未完待续）

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