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群论提纲
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第一章 引言：对称性与群
1 操作，不变，对称
2 物理中的对称性
2.1 经典理论
2.1.1 相对性原理
伽利略的相对性原理；爱因斯坦的相对性原理；爱因斯坦的广义相对性原理；相互作用的规范理论
2.1.2 对称性和守恒律
Noether定理；守恒量（运动积分）与动力学方程的求解；一个例子，地球围着太阳转：角动量和Laplace-Runge-Lenz矢量守恒
2.1.3 对称性与相互作用
由对称性出发确定相互作用
2.2 量子理论
Wigner定理；量子理论中新的对称性；对称性与谱结构；量子场理论中的对称性
3 对称性与群
用群描述对称性；伽利略相对性原理与伽利略群；爱因斯坦相对性原理与洛伦兹群；Noether定理与群。地球围着太阳转的问题中的群与守恒量：SO (3)群与角动量，SO (4)群与Laplace-Runge-Lenz矢量；洛伦兹群的表示与物质场方程；规范相互作用的规范群；群与原子、分子的谱；群与基本粒子的分类；晶体的对称群。
第二章 群
1 对称性与群
1.1 对称操作
一个分立几何对称性的例子：正三角形
一个连续几何对称性的例子：圆
1.2 这就是群
群的一个基于操作的定义
2 群，抽象群
伽罗华和他的群
2.1 数学结构
2.2 群作为一种代数结构：抽象群
三个群的例子：正三角形的旋转群，一个矩阵群，一个时钟数构成的群；它们都是群吗？它们同一个群吗？抽象化；抽象群的定义；更精确些的定义；Cayley的乘法表。
2.3 更多的代数结构
交换群；半群；亚群；交换半群；有单位元的半群；拟群；圈；groupoid。
2.4 群元，生成元
有限群的生成元；连续群的生成元。
2.5 它们都是群
运动群；转动群；伽利略群；洛伦兹群；晶体的点阵平移群；整数、实数和复数的加法群：Z+ 、R+和C+；非零实数和复数的乘法群：Rx和Cx；四元数的Q8群；矢量空间V 中的所有线性变换构成的群GL(V )(GL(n,K))；置换构成的群：对称群和它的子群置换群；分式线性变换构成的群。
3 群的分类
3.1 这两个群相同吗？这两个群像吗？
同构；同态。
3.2 分分类
有限群和无限群；分立群和连续群；拓扑群；李群。单群；单李群。Abel群（可交换）和非Abel群；循环群。有限群的阶和秩；连续群的阶和秩。
4 子群
5 群作用在集合上
抽象群与变换群。
5.1 变换群
群作用在集合上：二元运算和单位元在作用中的含义；Cayley定理。
5.2 群在集合上的可能的作用
左作用gm；右作用mg-1；共轭作用gmg-1。
5.3 轨道
过集合中一点的轨道；例子：二维旋转群在二维欧氏空间中的轨道；三维旋转群在三维欧氏空间中的轨道；空间反射群的轨道。轨道不是重合，就是不相交。传递：只有一条轨道。例：二维旋转群在一个圆上传递；平移群在整个空间上传递。
6 群作用在群上：群作为群的变换群
6.1 群作用在自身上
6.1.1 左作用和右作用：重排定理
重排定理；群左、右作用在自身上只有一条轨道，是传递的。
6.1.2 共轭作用：共轭元素类
共轭类
6.2 子群作用在群上：左陪集，右陪集
左作用，右陪集；右作用；左陪集。陪集与陪集，陪集与子群间没有交集。Lagrange定理。
6.3 群作用在它的子群上：共轭子群，不变子群
共轭子群，不变子群，中心；中心只有一个；中心一定是Abel的；Abel群的中心就是它自己。
7 群的商和群的扩张
7.1 商空间
7.1.1 等价，等价类
等价；等价类；等价类之间没有交集。
7.1.2 商：压缩一个集合
如何压缩一个集合；商。
7.1.3 齐性空间和商群
轨道构成的等价类；齐性空间（G-齐性空间）；群G在自己的G-齐性空间上传递（群G作用在G-齐性空间上只有一条轨道）；商群。例：欧几里德群和Poincare群的商群。
7.1.4 单群
单群；单群分类定理。
7.2 群的扩张
扩张；群的扩张。
直乘积扩张群扩张一定存在；直乘积扩张。
8 变换群
8.1 线性群
线性矢量空间上的变换群。
8.1.1 一般线性群
GL(V )；GL(n,K)；GL(n,C)；GL(n,R)。
8.1.2 典型群
一般线性群的子群
复特殊线性群SL(n,C)和实特殊线性群SL(n,R)
正交群O (n)，O (m, n)与特殊正交群SO (n)，SO (m,n) O (n)与SO (n)保二次型
+
+…+
;；O (m, n)与SO (m,n)保个二次型+…+
-
-…-
。
幺正群U (n)，U (m; n)与特殊幺正群SU (n)，SU (m,n) U (n)和SU (n)保二次型
+
+…+
=
+
+…+
;；U (m,n)和SU (m,n)保二次型--
-…-
+
+
+
。
正交群SO* (2n) SO* (2n)保反厄米二次型(
-
)+(
-
)+…+(
-
) 。
复辛群Sp (2n,C)，实辛群Sp (2n,R)和幺正辛群Sp (2n) 辛群保双线性形式（
)+(
)+…+（
）。
8.2 置换群
8.2.1 对称群
集合的全体置换构成的群。
8.2.2 置换群
对称群的子群；置换群。Cayley定理。
8.3 置换群与线性群
9 表示
9.1 置换群表示和线性群表示
置换群表示；线性群表示；表示空间
第三章 群表示
1 群的线性表示
1.1 线性表示，表示空间
线性表示，矩阵表示，表示空间。正三角形对称群的几个具体表示。
1.2 忠实表示
同构和同态，忠实表示。
1.3 等价表示，幺正表示
有限群的任何一个表示必与某个幺正表示等价。
1.4 可约与完全可约表示，不可约表示
1.4.1 可约和不可约表示
表示空间的不变子空间，可约表示，不可约表示。
1.4.2 可约和完全可约表示
完全可约表示，所有的有限维幺正表示都是完全可约的。
2 不可约表示的性质
2.1 Schur引理
Schur引理。
2.2 正交关系
不可约表示的正交关系。正交关系的意义：群空间中不可约表示矢量的正交归一性。
3 群表示的特征标
3.1 特征标的引入
特征标的定义，特征标是共轭元素类的函数
3.2 特征标的性质
3.2.1 正交关系
不可约表示特征标的内积||正交归一关系。直和表示和直乘表示的特征标。
定理：内积(
)为
中包含的
的个数。
定理：(
) = 1当且仅当
代表不可约表示。
定理：有限群的不等价不可约表示的个数等于群的类数。
3.2.2 正则表示
正则表示的特征标，正则表示和群代数。直积群的表示。
定理：正则表示中各个不可约表示出现的次数等于该不可约表示的维数。
定理：有限群的所有不等价不可约表示的维数的平方和等于群的阶：
。
4 连续群的表示
4.1 紧群
紧群与非紧群。
4.2 连续群的表示
紧群表示的性质与有限群类似。
5 有限群举例
Cn群，Cnv (Dn)群，Cnh群和Dnh群，对称群Sn。
6 物理应用举例
6.1 系统状态按照对称群的表示分类
几何对称性和动力学对称性，在对称操作下系统的每个状态都是按照对称群的某个表示变换的。
6.2 正则简并和偶然简并
正则简并，偶然简并。
6.3 对称和非对称微扰
在对称微扰下，系统能级简并的消除只可能出现在偶然简并能级上，而非对称微扰则可能导致正则简并能级的分裂。
6.4 跃迁的选择定则
选择定则给出哪些跃迁是不可能的，这完全是对称性的要求。
6.5 守恒律
对称群与守恒量。
第四章 晶体的对称性
1 晶体的对称变换群
平移群，点群，空间群。
1.1 平移群
平移群是空间群的不变子群。平移不变性对点群操作的限制。
1.2 晶格点群
简单空间群和非简单空间群，晶格点群中的旋转轴。
2 晶格点群
32种晶格点群：Cn群，Cnh群，Cnv群，Sn群，Dn群，Dnh群，Dnd群，包含多个高次轴的点群。
同构的晶格点群。不同晶系晶体的对称性。
3 应用举例
3.1 Bloch定理
平移不变性，群作用在函数空间上，平移群的不可约表示，Bloch定理，能带。
3.2 介电常数张量
介电常数张量有几个独立分量完全由晶体的对称性决定：当系统的对称群为C2h时，介电常数共有5个独立分量；对六方晶体，介电常数只有两个独立分量；对立方晶体，介电常数只有一个独立分量，可以表示为一个标量。
第五章 对称群
1 对称群的基本性质
1.1 定义
对称群Sn是n个物体的所有置换变换构成的群，群元的乘法规则。
1.2 轮换
轮换，配分数。
1.3 对换
任一轮换必可表示为对换的乘积。近邻对换，对称群的生成元。
1.4 置换的奇偶性，交错群
偶置换和奇置换，对称群的不变子群——交错群An。
1.5 共轭元素类
对称群的共轭元素类按照配分数来划分。
2 对称群的表示
2.1 不可约表示，杨图
对称群的不可约表示标记为用配分数标记，杨图。
2.2 不可约表示的特征标表
构造一个具体的表示并计算其特征标表。对称群不可约表示的特征标均为实数。
2.3 不可约表示的维数，杨表
2.3.1 Sn的表示作为Sn-1的表示
Sn群的不可约表示按照Sn-1群不可约表示的分解，图形规则。
2.3.2 不可约表示的基
杨表，正则杨表，对称群不可约表示的维数。
2.3.3 对称和反对称表示
对称表示[n]和反对称表示[1n]，对称和反对称投影算符。
3 内积——不可约表示的直乘
共轭表示，对称和反对称表示的构造。
4 外积
外积分解的图形规则。
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