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虚数的诞生 —— 最早揭示出虚数威力的数学家卡尔达诺
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古希腊时代结束以后，欧洲的数学曾经有很长一段时间处于停滞状态。
到了文艺复兴时期，欧洲数学终于再度繁荣，开始取得超过古代数学的重大成就。
在重新振兴欧洲数学的活动中，16世纪的意大利数学家们发挥了前导的作用。
其中有一位是米兰的医生兼数学家杰罗拉莫·卡尔达诺。他认真研究过于他同时代的意大利数学家尼柯洛·冯塔纳（1499-1557，绰号“塔塔利亚”，意大利语意思是口吃的“结巴”）所发明的“求解三次方程的公式”，并在自己1545年出版的数学书《大术》中作了介绍。由于《大术》这本书流传甚广，读的人非常多，到今天，人们已经习惯于把本来是塔塔利亚发明的求解三次方程的公式称为“卡尔达诺公式”。
事实上，正是在《大术》这本书中第一次出现了“平方为负数的数”，也就是首次出现了虚数。
《大术》一书中有多达20页的篇幅详细讨论“怎样的两个数彼此相加之和为10，彼此相乘之积为40”的问题。在当时，这个问题本来是没有答案（解）的。
但是，卡尔达诺却写下了“5 + sqrt{-15}”和“5 - sqrt{-15}”两个答案。
他写道，“若不在乎因困惑而感到苦恼的话，这两个数，乘积等于40，的确满足问题的条件。”
卡尔达诺通过对这个问题的讨论提出了一个重要思想：承认虚数，原来没有答案的问题也会有答案。
使用“平方为负数的数”，任何二次方程都会有答案
卡尔达诺问题的求解
1. 卡尔达诺的解题方法
问题 试求相加等于10，相乘等于40的两个数
求解
在“比5大x的数”和“比5小x的数”的两组数中区寻找相乘等于40的数。
设这两组数分别为（5+x）和（5-x），所提问题相当于要求
（5+x)×(5-x)=40
利用初中数学学过的公式（a+b）（a-b）= a^2 - b^2 改写上式方程左端，得
5^2 - x^2 = 40
25 - x^2 = 40
x^2 = -15
求得x是一个“平方等于-15的数”，然而当时却没有这样的数。
尽管如此，卡尔达诺在他的书中仍然把“平方等于-15的数”当作一个普通数对待，将它写作“sqrt{-15}”。卡尔达诺径直把“比5大x的数”和“比5小x的数”中的“5 + sqrt{-15}”和“5 - sqrt{-15}”当作问题的答案写作了书中。
答案 满足问题条件的是如下两个解：
“5 + sqrt{-15}”和“5 - sqrt{-15}”
2. 利用“求解二次方程的公式”的解题方法
问题 试求相加等于10，相乘等于40的两个数
求解
A ＋ B = 10 (1)
A × B = 40 (2)
由（1） B = 10-A
代入（2）得到一个只有一个未知数A的二次方程
A × （10-A） = 40
写成二次方程的标准形式“aX^2 + bX + c = 0”
-A^2 + 10A -40 = 0
利用求解二次方程的求解公式
A = 5 ± sqrt{-15}
答案
5 ＋ sqrt{-15} 和 5 － sqrt{-15}
求解 相加之和是否为10？
（5＋ sqrt{-15}） + （5－ sqrt{-15}） = 10
相乘之积是否为40？
（5＋ sqrt{-15}）×（5－ sqrt{-15}） = 5^2 - (-15) = 40
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