高斯小学时算出 1 +2 +3 +4 +...+n = n(n+1)/2 。
但是欧拉却算出:
![](http://www.sciencenet.cn/cgi/tex.exe?1+2+3+4+5+%20....%20=%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B12%7D)
这个公式在计算真空能量时用到,而且计算结果跟实验吻合了。
欧拉的证明如下:
问题,求和 S= 1+2+3+。。。无穷,S= ![](http://www.sciencenet.cn/cgi/tex.exe?%5Cnormalsize%5Cdisplaystyle%5Csum_%7Bn=1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%7Bn%7D)
首先证明 1-2+3-4+5-6 .... = 1/4 (1)
因为
![](http://www.sciencenet.cn/cgi/tex.exe?%5Cfrac%7B1%7D%7B%281+x%29%5E2%7D%20=%201-2x+3x%5E2-4x%5E3+5x%5E4-6x%5E5+...)
代入 x=1,得出 (1),
但是
1-2 + 3 -4 + 5 -6 ...= 1 +2 +3 +4 .. - 2 x(2+4+6+8...)
= - 3 * S
-3 S = 1/4
S = -1/12
因此
![](http://www.sciencenet.cn/cgi/tex.exe?%5Cnormalsize%5Cdisplaystyle%5Csum_%7Bn=1%7D%5E%7B+%5Cinfty%7D%7Bn%7D%20=%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B12%7D)
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附件注:我是在科普学过物理的人熟知的知识
https://m.sciencenet.cn/blog-684007-561463.html
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