《统一无穷理论》一书，构造了以“数原子”为基础的数字世界，并把无穷大统一为唯一一个∞。这样的统一方法，把从0到∞之间的空间密密麻麻填满了“数原子”。这种构造数的方法启发了我用更简单易懂的方法去构造数的新模式。

为了避免再次陷入集合论、无穷大的分层、实数集的可数等争论不休的问题，本人构造了一种数的新模式——层次数。

层次数是构造在实数（位数）是可数的基础上。实数（位数）是可数的结论已得到不少专家的论证。

下文是把0（包括0）以上的数构造为层次数，不考虑负数和虚数。

一、构造层次数

 我们知道自然数是数不完的无穷数：

0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，……，N，N+1，……

由于无法数到无穷大，只能用下列方法表示自然数系列：

0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，……，U，……，∞

由于不存在最大的自然数，我们尽可能取极大的自然数U（简称极大数）。U仍然不是最大的自然数，只能用无穷大（∞）来表示自然数的最终值。但由于∞不具有自然数的性质，所以有必要构造层次数。

对0以上的数，可以按以下划分：

0，无穷小，实数，无穷大

（为了便于分析，本文把0单列出来，即本文实数不包括0）

传统的数字观把实数与无穷小和无穷大混在一起，认为实数与实数之间既有无穷小，也有无穷大。由于实数（位数）是可数的，我们完全可以把实数构造在无穷小和无穷大之外。

无穷大  （4层）

                                                    ↑

                                        ↑﹉﹉﹉

                                     实数  （3层）

                                      ↑

                      ↑﹉﹉﹉

                     无穷小  （2层）

                  ↑

     ↑﹉﹉﹉

       0  （1层）

二、实数

上述的数分为4层：0，无穷小，实数，无穷大；层与层之间有明显的跨跃。虽然层与层之间有很多数，但这些数几乎是用不到的，可以忽略。

实数的形式可写为：

N₁N₂N₃……N_U . n₁n₂n₃……n_U1（U、U1为极大数）

这里要强调的是：对于U、U1不是最终值，U、U1之后还有很多个数，但这些数几乎是用不到的，可以忽略。

三、实数与无穷大

我们知道，实数与无穷大之间可能有过渡数，但这种过渡数没有办法找到。在上述定义的实数形式（N₁N₂N₃……N_U . n₁n₂n₃……n_U1）里，整数部分N₁N₂N₃……N_U 离无穷大依然很遥远，小数部分n₁n₂n₃……n_U1（位数）也是无法接近无穷大，但可以用跳跃的方式穿跃这“密集无用的过渡数”。

上述方法构造的实数可以不再与无穷大或无穷小相关。

无穷大的构造方法也简单，就用∞表示。∞是不是可以统一为一个（《统一无穷理论》就把∞统一为一个），或者可以分为很多个超限数（康托尔的无穷理论），对上述的构造没有任何影响。

四、其它层次数

0不用构造，依然只有一个0。

无穷小δ，按照现在高等数学教材里的定义，无穷小是趋近于0但又比0大的数，即δ>0；同时无穷小又小于任意小的实数，即δ<实数C。

同理，0与无穷小之间可能有过渡数，这种过渡数也是没有办法找到，也同样可以用跳跃的方式穿跃这“无用的过渡数”。

五、无穷小的比较

无穷小是可以比较大小的，它们是用分阶来比较。

设α与β都是无穷小

若lim β/α＝0，就说β是比α较高阶的无穷小

若lim β/α＝∞，就说β是比α较低阶的无穷小

若lim β/α＝C≠0，就说β是与α同阶无穷小

若lim β/α＝1，就说β与α是等价无穷小

六、层次数之间的关系

从两个重要极限其中之一可得：

（1+δ）^∞＝e

从上述公式可以推出：无穷小δ、无穷大∞与实数（这里是e）是可以互相转换的。由于实数e是可数数，因此无穷小δ、无穷大∞也都是可数数。

参考文献：

[1] 何华灿、何智涛著，《统一无穷理论》，科学出版社，2011年12月

[2] 戴维·福斯特·华莱士著，胡凯衡译《跳跃的无穷》，湖南科学技术出版社，2009年4月

[3] 樊映川等编，《高等数学讲义（上册）》，高等教育出版社，1964年7月